Mostre que o conjunto é uma base para o espaço . Em seguida, escreva o polinômio como combinação linear desses elementos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Além disso, precisamos escrever o polinômio como uma combinação linear dos elementos de .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de base, combinação linear e como resolver sistemas de equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma base para . Para isso, precisamos garantir duas coisas:
Geração do Espaço: Os elementos de precisam gerar todo o espaço . Isso significa que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de .
Independência Linear: Os elementos de não podem ser expressos uns pelos outros; ou seja, nenhum elemento de é uma combinação linear dos outros.
Vamos verificar esses pontos.
Passo 3
Vamos montar uma combinação linear igual a zero para verificar a independência linear:
Simplificando isso, temos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, . Como , então . Portanto, a única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Como tem três elementos e também é de dimensão 3, concluímos que é uma base para .
Passo 4
Agora, vamos escrever o polinômio 2 - x + 3x^2 = a cdot 1 + b cdot (1 + x) + c cdot (-1 + x^2) como uma combinação linear dos elementos de 2 - x + 3x^2 = a + b(1) + b(x) + c(-1) + c(x^2) :
2 - x + 3x^2 = (a + b - c) + b cdot x + c cdot x^2
Vamos expandir e igualar os coeficientes:
a + b - c = 2 b = -1 c = 3
a + (-1) - 3 = 2 Rightarrow a - 4 = 2 Rightarrow a = 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo:
Da segunda equação, . Da terceira, . Substituindo esses valores na primeira equação:
Resposta
O polinômio 2 - x + 3x^2 = 6 cdot 1 + (-1) cdot (1 + x) + 3 cdot (-1 + x^2) pode ser escrito como: