Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação
e precisa encontrar as equações das hipérboles relacionadas a essa. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferenças entre as equações de elipse e hipérbole e como transformar uma equação padrão em outra. Vamos precisar lembrar das fórmulas padrão das cônicas e como elas se diferenciam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual cônica a equação
representa. Para isso, vamos comparar com as equações padrão.
A equação geral de uma elipse é:
Comparando com a nossa equação:
Dividindo os dois lados por 9 para colocar na forma padrão:
Assim, vemos que
e
, ou seja,
e
. Isso confirma que a equação dada é de uma elipse.
Passo 3
Agora, para obter as equações das hipérboles relacionadas, vamos alterar a equação da elipse transformando a soma em uma subtração. A equação padrão de uma hipérbole é:
ou
Dependendo da orientação da hipérbole (horizontal ou vertical).
Passo 4
Vamos seguir com a hipérbole horizontal. Usando os mesmos valores de
e
que encontramos na elipse (
e
), substituímos na equação padrão da hipérbole:
Portanto, a equação da hipérbole horizontal relacionada é:
Passo 5
Se quisermos a hipérbole vertical, onde o termo
vem primeiro, usamos a outra forma da equação padrão:
Então, a equação da hipérbole vertical relacionada é:
Resposta
As equações das hipérboles relacionadas à equação dada são:
Hipérbole horizontal:
Hipérbole vertical:
Exercícios relacionados
Considere o grupo linear geral
, onde
ou
.
(a) Mostre que .
(a) Mostre que
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
k) em
.
k)
Obtenha as equações das hipérboles, dados:
Considere o conjunto
munido da operação definida por
.
(a) Prove que é um grupo;
(a) Prove que