Obtenha as equações das hipérboles, dados: x^2+9 y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação e precisa encontrar as equações das hipérboles relacionadas a essa. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferenças entre as equações de elipse e hipérbole e como transformar uma equação padrão em outra. Vamos precisar lembrar das fórmulas padrão das cônicas e como elas se diferenciam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual cônica a equação x^2a^2 + y^2b^2 = 1 representa. Para isso, vamos comparar com as equações padrão.
A equação geral de uma elipse é:
x^2 + 9y^2 = 9
Comparando com a nossa equação:
x^29 + y^21 = 1
Dividindo os dois lados por 9 para colocar na forma padrão:
Assim, vemos que e , ou seja, e . Isso confirma que a equação dada é de uma elipse.

Passo 3

Agora, para obter as equações das hipérboles relacionadas, vamos alterar a equação da elipse transformando a soma em uma subtração. A equação padrão de uma hipérbole é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
ou
y^2b^2 - x^2a^2 = 1
Dependendo da orientação da hipérbole (horizontal ou vertical).

Passo 4

Vamos seguir com a hipérbole horizontal. Usando os mesmos valores de x^29 - y^21 = 1 e boxedx^29 - y^2 = 1 que encontramos na elipse ( e ), substituímos na equação padrão da hipérbole:
Portanto, a equação da hipérbole horizontal relacionada é:

Passo 5

Se quisermos a hipérbole vertical, onde o termo y^21 - x^29 = 1 vem primeiro, usamos a outra forma da equação padrão:
boxedy^2 - x^29 = 1
Então, a equação da hipérbole vertical relacionada é:

Resposta

As equações das hipérboles relacionadas à equação dada são:
Hipérbole horizontal:
x^29 - y^2 = 1
Hipérbole vertical:
y^2 - x^29 = 1

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