Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. I=e^x, e^-x em F(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar o conjunto como Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.) dentro do espaço das funções reais, que é representado por . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como aplicar isso às funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente. Um conjunto de funções é L.I. se a única combinação linear que iguala zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos para todo , então precisamos que e .

Passo 3

Vamos configurar a equação:
c1 e^x + c2 e^-x = 0
Queremos ver se a única solução para e é e .

Passo 4

Para descobrir isso, vamos escolher valores específicos de c1 e^0 + c2 e^0 = c1 + c2 = 0 que simplifiquem a equação. Vamos começar com c1 + c2 = 0 :
Então, temos a primeira equação:

Passo 5

Agora, vamos escolher outro valor para c1 e^1 + c2 e^-1 = c1 e + c2e = 0 , por exemplo, c1 e + c2e = 0 :
Então, temos a segunda equação:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
c1 + c2 = 0 c1 e + c2e = 0
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar c2 = -c1 em termos de :

Passo 7

Substituindo c1 e + -c1e = 0 na segunda equação:
c1 ( e - 1e ) = 0
Fatorando :

Passo 8

Para que a equação seja verdadeira, ou ou . Mas é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,718, então . Isso significa que a única solução possível é . E, a partir de , também temos .

Resposta

Como a única solução para a combinação linear é e , o conjunto é Linearmente Independente (L.I.) em .

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Sabendo que U=(x, y, z, t) in R^4 mid y+z=t e W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=0 e z-t=0, determine as dimensões de U+W e U cap W.
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