Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar o conjunto
como Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.) dentro do espaço das funções reais, que é representado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como aplicar isso às funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente independente. Um conjunto de funções é L.I. se a única combinação linear que iguala zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos
para todo
, então precisamos que
e
.
Passo 3
Vamos configurar a equação:
Queremos ver se a única solução para
e
é
e
.
Passo 4
Para descobrir isso, vamos escolher valores específicos de
que simplifiquem a equação. Vamos começar com
:
Então, temos a primeira equação:
Passo 5
Agora, vamos escolher outro valor para
, por exemplo,
:
Então, temos a segunda equação:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
:
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Fatorando
:
Passo 8
Para que a equação seja verdadeira, ou
ou
. Mas
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,718, então
. Isso significa que a única solução possível é
. E, a partir de
, também temos
.
Resposta
Como a única solução para a combinação linear é
e
, o conjunto
é Linearmente Independente (L.I.) em
.
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial das funções
. Mostre que
,
e
são subespaços vetoriais de
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
é crescente
.
Sabendo que
e
e
, determine as dimensões de
e
.
Seja
um espaço vetorial de dimensão finita
. Se
e
são subespaços vetoriais de
e
, prove que
.