Sabendo que
e
e
, determine as dimensões de
e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem duas coleções de vetores em um espaço de quatro dimensões, chamado
. A primeira coleção,
, é formada por todas as coordenadas
que satisfazem a equação
. A segunda coleção,
, inclui todos os vetores que satisfazem
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir as dimensões da soma desses dois conjuntos,
, e da interseção deles,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são dimensão, soma de subespaços e interseção de subespaços. A dimensão de um subespaço é basicamente o número de direções independentes nele. A soma de dois subespaços,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser feitos somando um vetor de
com um de
. Já a interseção,
, é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos começar encontrando a dimensão de
. A equação
impõe uma restrição entre as coordenadas
,
e
. Isso significa que, se escolhemos
e
livremente,
é determinado por
. Assim, temos duas variáveis livres (
e, por exemplo,
), o que sugere que a dimensão de
é 3.
Passo 4
Agora, vamos para
. As equações
e
relacionam as coordenadas
com
e
com
. Isso significa que
e
. As variáveis livres aqui são
e
, então a dimensão de
é 2.
Passo 5
Para encontrar a dimensão da soma
, usamos a fórmula:
Sabemos que
e
, mas ainda precisamos descobrir
.
Passo 6
Vamos encontrar os vetores que estão tanto em
quanto em
. Para isso, eles devem satisfazer todas as condições de
e de
. Ou seja:
Substituindo
na primeira equação, temos
, o que implica
. E como
, então
. Portanto, os vetores na interseção satisfazem
,
,
. A única variável livre aqui é
, então a dimensão de
é 1.
Passo 7
Agora que temos todos os valores, podemos calcular a dimensão de
usando a fórmula mencionada:
Resposta
A dimensão de
é 4 e a dimensão de
é 1.
Exercícios relacionados
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Seja
o espaço vetorial das funções
. Mostre que
,
e
são subespaços vetoriais de
.
Seja
um espaço vetorial de dimensão finita
. Se
e
são subespaços vetoriais de
e
, prove que
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.