Sabendo que U=(x, y, z, t) in R^4 mid y+z=t e W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=0 e z-t=0, determine as dimensões de U+W e U cap W.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem duas coleções de vetores em um espaço de quatro dimensões, chamado R^4. A primeira coleção, U, é formada por todas as coordenadas (x, y, z, t) que satisfazem a equação y + z = t. A segunda coleção, W, inclui todos os vetores que satisfazem x - y = 0 e z - t = 0. Nosso objetivo aqui é descobrir as dimensões da soma desses dois conjuntos, U + W, e da interseção deles, U cap W.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são dimensão, soma de subespaços e interseção de subespaços. A dimensão de um subespaço é basicamente o número de direções independentes nele. A soma de dois subespaços, U + W, é o conjunto de todos os vetores que podem ser feitos somando um vetor de U com um de W. Já a interseção, U cap W, é o conjunto de vetores que pertencem a ambos os subespaços ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos começar encontrando a dimensão de U. A equação y + z = t impõe uma restrição entre as coordenadas y, z e t. Isso significa que, se escolhemos y e z livremente, t é determinado por t = y + z. Assim, temos duas variáveis livres ( x e, por exemplo, y), o que sugere que a dimensão de U é 3.

Passo 4

Agora, vamos para W. As equações x - y = 0 e z - t = 0 relacionam as coordenadas x com y e z com t. Isso significa que x = y e z = t. As variáveis livres aqui são y e t, então a dimensão de W é 2.

Passo 5

Para encontrar a dimensão da soma U + W, usamos a fórmula:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Sabemos que dim(U) = 3 e dim(W) = 2, mas ainda precisamos descobrir dim(U cap W).

Passo 6

Vamos encontrar os vetores que estão tanto em U quanto em W. Para isso, eles devem satisfazer todas as condições de U e de W. Ou seja:
y + z = t x = y z = t
Substituindo z = t na primeira equação, temos y + t = t, o que implica y = 0. E como x = y, então x = 0. Portanto, os vetores na interseção satisfazem x = 0, y = 0, z = t. A única variável livre aqui é t, então a dimensão de U cap W é 1.

Passo 7

Agora que temos todos os valores, podemos calcular a dimensão de U + W usando a fórmula mencionada:
dim(U + W) = 3 + 2 - 1 = 4

Resposta

A dimensão de U + W é 4 e a dimensão de U cap W é 1.

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