Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com dim(V)=n. Se U e W são subespaços vetoriais de V com dim(U)>n2 e dim(W)>n2, prove que U cap W neq0V.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial que tem uma dimensão finita . Dentro desse espaço, temos dois subespaços e que também são vetoriais. A dimensão de é maior que metade de e a dimensão de também é maior que metade de . A gente precisa provar que a interseção desses dois subespaços não é apenas o vetor zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dimensão de subespaços, dimensão da soma de subespaços e a fórmula de dimensão que relaciona esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da dimensão da soma de dois subespaços. Se dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) e são subespaços de , então:
Essa fórmula nos ajuda a relacionar as dimensões dos subespaços e sua interseção.

Passo 3

Sabemos que dim(U + W) <= dim(V) = n é também um subespaço de . Então, a dimensão de não pode ser maior que a dimensão de :

Passo 4

Substituindo a fórmula da dimensão da soma na desigualdade, temos:
dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) <= n
Queremos descobrir algo sobre .

Passo 5

Vamos reorganizar a desigualdade para isolar dim(U cap W) >= dim(U) + dim(W) - n :

Passo 6

Sabemos que dim(U) + dim(W) > n2 + n2 = n e . Vamos somar essas duas desigualdades:

Passo 7

Substituindo essa soma na desigualdade anterior:
dim(U cap W) >= (dim(U) + dim(W)) - n > n - n = 0
Portanto, .

Passo 8

Se a dimensão da interseção é maior que zero, isso significa que esse espaço contém mais do que apenas o vetor zero. Ou seja, .

Resposta

Assim, provamos que não é apenas o vetor zero, ou seja, .

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Sabendo que U=(x, y, z, t) in R^4 mid y+z=t e W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=0 e z-t=0, determine as dimensões de U+W e U cap W.
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