Seja
um espaço vetorial de dimensão finita
. Se
e
são subespaços vetoriais de
e
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um espaço vetorial
que tem uma dimensão finita
. Dentro desse espaço, temos dois subespaços
e
que também são vetoriais. A dimensão de
é maior que metade de
e a dimensão de
também é maior que metade de
. A gente precisa provar que a interseção desses dois subespaços
não é apenas o vetor zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dimensão de subespaços, dimensão da soma de subespaços e a fórmula de dimensão que relaciona esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da dimensão da soma de dois subespaços. Se
e
são subespaços de
, então:
Essa fórmula nos ajuda a relacionar as dimensões dos subespaços e sua interseção.
Passo 3
Sabemos que
é também um subespaço de
. Então, a dimensão de
não pode ser maior que a dimensão de
:
Passo 4
Substituindo a fórmula da dimensão da soma na desigualdade, temos:
Queremos descobrir algo sobre
.
Passo 5
Vamos reorganizar a desigualdade para isolar
:
Passo 6
Sabemos que
e
. Vamos somar essas duas desigualdades:
Passo 7
Substituindo essa soma na desigualdade anterior:
Portanto,
.
Passo 8
Se a dimensão da interseção
é maior que zero, isso significa que esse espaço contém mais do que apenas o vetor zero. Ou seja,
.
Resposta
Assim, provamos que
não é apenas o vetor zero, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
e
e
, determine as dimensões de
e
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.