Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar pra vários conjuntos de vetores e dizer se eles são colineares, coplanares ou não colineares/coplanares. Isso tá dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência e dependência linear dos vetores. Pra resolver isso, a gente vai precisar verificar se os vetores estão na mesma linha (colineares) ou no mesmo plano (coplanares), usando conceitos como determinantes e análise de combinações lineares.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, são vetores em 2 dimensões. Dois vetores no plano são colineares se um for múltiplo do outro.
Vamos ver se existe um número tal que:
Isso dá as equações:
Então,
Mas , então não existe tal . Logo, os vetores não são colineares. Como estão no mesmo espaço (2D), eles são automaticamente coplanares.
Passo 3
Parte (b)
Novamente, vetores em 2D. Vamos verificar se um é múltiplo do outro.
Procuramos tal que:
Isso dá:
Resolvendo:
Aqui, o valor de é o mesmo para ambas as componentes. Então, existe um que satisfaz as duas equações. Portanto, os vetores são colineares e, claro, coplanares.
Agora temos três vetores em 3 dimensões. Para verificar se são coplanares, vamos montar uma matriz com eles e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
Como o determinante é diferente de zero (4 neq 0), os vetores não são coplanares.
Passo 5
Parte (d) (1,0,-1),, (1,1,-1),, (2,3,4),, (5,-2,1)
Agora temos quatro vetores em 3 dimensões. Para analisar a coplanaridade, vamos verificar se algum subconjunto de três vetores é coplanar e se o quarto vetor está no mesmo plano.
Primeiro, vamos pegar os três primeiros vetores e montar a matriz:
Como o determinante é diferente de zero (6 neq 0), os três primeiros vetores não são coplanares. Portanto, adicionando qualquer quarto vetor, os quatro vetores não são coplanares.