Classifique se os conjuntos de vetores são colineares, coplanares e não colineares, coplanares ou não coplanares:
(a) (1,2),(pi, e);
(b) (21,35),(-3,-5);
© i-2 j+3 k, 3 i-4 j+k, i-j-k;
(d) (1,0,-1),(1,1,-1),(2,3,4),(5,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar pra vários conjuntos de vetores e dizer se eles são colineares, coplanares ou não colineares/coplanares. Isso tá dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência e dependência linear dos vetores. Pra resolver isso, a gente vai precisar verificar se os vetores estão na mesma linha (colineares) ou no mesmo plano (coplanares), usando conceitos como determinantes e análise de combinações lineares.

Passo 2

Parte (a) (1,2), (pi, e)

Primeiro, são vetores em 2 dimensões. Dois vetores no plano são colineares se um for múltiplo do outro.
Vamos ver se existe um número k tal que:
(pi, e) = k cdot (1,2)
Isso dá as equações:
pi = k cdot 1 e e = k cdot 2
Então,
k = pi e k = e2
Mas pi neq e2, então não existe tal k. Logo, os vetores não são colineares. Como estão no mesmo espaço (2D), eles são automaticamente coplanares.

Passo 3

Parte (b) (21,35), (-3,-5)

Novamente, vetores em 2D. Vamos verificar se um é múltiplo do outro.
Procuramos k tal que:
(-3,-5) = k cdot (21,35)
Isso dá:
-3 = 21k e -5 = 35k
Resolvendo:
k = -321 = -17 e k = -535 = -17
Aqui, o valor de k é o mesmo para ambas as componentes. Então, existe um k que satisfaz as duas equações. Portanto, os vetores são colineares e, claro, coplanares.

Passo 4

Parte © i-2 j+3 k,, 3 i-4 j+k,, i-j-k

Agora temos três vetores em 3 dimensões. Para verificar se são coplanares, vamos montar uma matriz com eles e calcular o determinante. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
Matriz:
1 & -2 & 3 3 & -4 & 1 1 & -1 & -1
Calculando o determinante:
det = 1 cdot (-4 cdot (-1) - 1 cdot (-1)) - (-2) cdot (3 cdot (-1) - 1 cdot (-1)) + 3 cdot (3 cdot (-1) - (-4) cdot 1)
Simplificando:
det = 1 cdot (4 + 1) - (-2) cdot (-3 +1) + 3 cdot (-3 +4) = 5 - (-2) cdot (-2) + 3 cdot 1 = 5 - 4 + 3 = 4
Como o determinante é diferente de zero ( 4 neq 0), os vetores não são coplanares.

Passo 5

Parte (d) (1,0,-1),, (1,1,-1),, (2,3,4),, (5,-2,1)

Agora temos quatro vetores em 3 dimensões. Para analisar a coplanaridade, vamos verificar se algum subconjunto de três vetores é coplanar e se o quarto vetor está no mesmo plano.
Primeiro, vamos pegar os três primeiros vetores e montar a matriz:
1 & 0 & -1 1 & 1 & -1 2 & 3 & 4
Calculando o determinante:
det = 1 cdot (1 cdot 4 - (-1) cdot 3) - 0 cdot (1 cdot 4 - (-1) cdot 2) + (-1) cdot (1 cdot 3 -1 cdot 2)
Simplificando:
det = 1 cdot (4 + 3) - 0 + (-1) cdot (3 -2) = 7 - 0 -1 = 6
Como o determinante é diferente de zero ( 6 neq 0), os três primeiros vetores não são coplanares. Portanto, adicionando qualquer quarto vetor, os quatro vetores não são coplanares.

Resposta

Classificações dos conjuntos de vetores:
a) Não colineares, coplanares;
b) Colineares, coplanares;
c) Não coplanares;
d) Não coplanares.

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