(a) - (1,5) : Resolva o sistema linear S1:l x+4 y-2 z=1 2 x+2 y-2 z=4 3 x+6 y-5 z=3 e S2:l x-2 y-z=1 2 x+y-3 z=0 x-7 y usando o método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Beleza, vamos resolver os sistemas lineares e usando o método de Gauss-Jordan. Sistemas lineares envolvem encontrar valores para as variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. O método de Gauss-Jordan é uma técnica para simplificar o sistema até encontrar as soluções de forma clara.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro sistema S1: x + 4y - 2z = 1 2x + 2y - 2z = 4 3x + 6y - 5z = 3 :
1 & 4 & -2 & | & 1 2 & 2 & -2 & | & 4 3 & 6 & -5 & | & 3
Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde teremos um “1” na diagonal principal e zeros abaixo e acima dele. Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar os termos de R2 = R2 - 2R1 nas linhas abaixo.
Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
2 - 2(1) = 0, 2 - 2(4) = -6, -2 - 2(-2) = 2, 4 - 2(1) = 2
0 -6 2 | 2
Nova segunda linha:

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo com a terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
R3 = R3 - 3R1
3 - 3(1) = 0, 6 - 3(4) = -6, -5 - 3(-2) = 1, 3 - 3(1) = 0
Nova terceira linha:
0 -6 1 | 0

Passo 5

Agora, nossa matriz fica:
1 & 4 & -2 & | & 1 0 & -6 & 2 & | & 2 0 & -6 & 1 & | & 0
Vamos simplificar a segunda linha dividindo-a por -6 para ter um 1 na posição de R2 = R2-6 :
0 1 -13 | -13

Passo 6

Agora, usamos a segunda linha para eliminar o termo de R3 = R3 - R2 na terceira linha:
0 - 0 = 0, -6 - (-6) = 0, 1 - (-13) = 43, 0 - (-13) = 13
0 0 43 | 13
Nova terceira linha:

Passo 7

Simplificamos a terceira linha multiplicando por R3 = 34R3 para obter um 1 em 0 0 1 | 14 :

Passo 8

Agora, usamos a terceira linha para eliminar o termo de R2 = R2 + 13R3 na segunda linha:
0 1 0 | -13 + 13( 14 ) = -13 + 112 = -14

Passo 9

Agora, nossa matriz está:
1 & 4 & -2 & | & 1 0 & 1 & 0 & | & -14 0 & 0 & 1 & | & 14
Usamos a segunda linha para eliminar o termo de R1 = R1 - 4R2 na primeira linha:
1 - 0 = 1, 4 - 4(1) = 0, -2 - 0 = -2, 1 - 4(-14) = 2
1 0 -2 | 2
Nova primeira linha:

Passo 10

Finalmente, usamos a terceira linha para eliminar o termo de R1 = R1 + 2R3 na primeira linha:
1 + 0 = 1, 0 + 0 = 0, -2 + 2(1) = 0, 2 + 2(14) = 2.5
1 & 0 & 0 & | & 2.5 0 & 1 & 0 & | & -0.25 0 & 0 & 1 & | & 0.25
Matriz final:

Resposta

As soluções do sistema x = 2.5, y = -0.25, z = 0.25 são:

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(a) - (1,5) : Considere a matriz A=(lllx & 2 & 1 2 & - & 2 1 & 2 & 1). Encontre os valores de x tais que A seja inversível. Use a matriz adjunta de A para encontrar A^-1 ; isto é, calcule A^-1=1det(A) A d j(A).
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(b) (21,35),(-3,-5);
© i-2 j+3 k, 3 i-4 j+k, i-j-k;
(d) (1,0,-1),(1,1,-1),(2,3,4),(5,-2,1).
Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 4 x-5 y+6 z);
Mostre que se V=W1 oplus W2, alpha=v1, v2, ldots, vr é uma base de W1 e beta=u1, u2, ldots, us é uma base de W2, então gamma=v1, v2, ldots, vr, u1, u2, ldots, us é uma base de V.