Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora.
a)
, dada por
.
b)
, dada por
.
c)
tal que
.
d)
tal que
e)
, dada por
.
f)
tal que
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza! A gente vai classificar umas funções para ver se elas são injetoras, sobrejetoras, bijetoras ou nem injetoras nem sobrejetoras. Pra isso, vamos precisar entender o que cada termo significa:
- Função Injetora: Cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio. Ou seja, não tem dois
diferentes que dão o mesmo . - Função Sobrejetora: Todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio.
- Função Bijetora: A função é tanto injetora quanto sobrejetora.
Vamos analisar cada uma das funções listadas para ver em qual categoria elas se encaixam!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Se
, então:
Isso mostra que cada
único tem um
único. Então,
é injetora.
Agora, vamos ver se é sobrejetora. Para qualquer
, queremos achar um
tal que
:
Como
pertence a
, toda
também é atingida. Então,
é sobrejetora.
Como é injetora e sobrejetora, a função
é bijetora.
Passo 3
Primeiro, checando a injetividade:
Se
, então:
Mas como o domínio é
(números reais positivos),
não é válido. Portanto,
é injetora.
Agora, a sobrejetividade:
Vamos ver se todo
tem um
tal que
:
Para que
seja real e positivo, precisamos que
, ou seja,
. Logo,
só atinge valores
, não todo
.
Então,
não é sobrejetora.
Como é injetora, mas não sobrejetora,
é injetora.
Passo 4
Para injetividade:
Se
, então:
Isso significa que
ou
. No segundo caso:
Então, se
, mas
, temos que a função não é injetora.
Para sobrejetividade:
Queremos que para todo
, exista
tal que
:
ou
Como
é positivo, conseguimos encontrar
para qualquer
. Então,
é sobrejetora.
Então,
não é injetora, mas é sobrejetora.
Passo 5
Primeiro, a injetividade:
Se
, então:
Então,
é injetora.
Agora, a sobrejetividade:
Queremos que todo
tenha um
tal que
.
Mas, por exemplo,
:
Que não pertence a
. Além disso,
sempre será
e diferente de números onde
não é múltiplo de 3.
Então,
não é sobrejetora.
Portanto,
é injetora.
Passo 6
Vamos simplificar
:
Primeiro, checando a injetividade:
Se
, pode haver casos diferentes devido ao valor absoluto. Por exemplo,
e
. Já, se
e
, temos
mas
. Então, a função não é injetora.
Para a sobrejetividade:
Vamos ver se todo
tem um
tal que
.
Analisando os casos:
- Para
, , que pode assumir qualquer valor real, pois é um polinômio de segundo grau que se abre para cima e cobre todo o eixo . - Para
, , também um polinômio de segundo grau, que cobre valores reais.
Então, parece que
é sobrejetora.
Como não é injetora, mas é sobrejetora,
é sobrejetora.
Passo 7
Primeiro, a injetividade:
Se
, então:
Portanto,
é injetora.
Agora, a sobrejetividade:
Para qualquer
, existe um
tal que
. Basta tomar
.
Então,
é sobrejetora.
Como é injetora e sobrejetora,
é bijetora.
Resposta
a) Bijetora
b) Injetora
c) Sobrejetora
d) Injetora
e) Sobrejetora
f) Bijetora
b) Injetora
c) Sobrejetora
d) Injetora
e) Sobrejetora
f) Bijetora