Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora.
a) f: R -> R, dada por f(x) = 2x - 1.
b) g: R+ -> R, dada por g(x) = 1 - x^2.
c) h: R -> R+tal que h(x) = |x + 1|.
d) m: N -> N tal que m(x)=3x+2
e) r: R -> R, dada por r(x) = |x|(x - 1).
f) q : R -> R tal que q(x) = x^3.

Passo 1

Beleza! A gente vai classificar umas funções para ver se elas são injetoras, sobrejetoras, bijetoras ou nem injetoras nem sobrejetoras. Pra isso, vamos precisar entender o que cada termo significa:
  • Função Injetora: Cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio. Ou seja, não tem dois diferentes que dão o mesmo .
  • Função Sobrejetora: Todo elemento do contradomínio é atingido por algum elemento do domínio.
  • Função Bijetora: A função é tanto injetora quanto sobrejetora.
Vamos analisar cada uma das funções listadas para ver em qual categoria elas se encaixam!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetora. Se , então:
Isso mostra que cada único tem um único. Então, é injetora.
Agora, vamos ver se é sobrejetora. Para qualquer , queremos achar um tal que :
Como pertence a , toda também é atingida. Então, é sobrejetora.
Como é injetora e sobrejetora, a função é bijetora.

Passo 3

Primeiro, checando a injetividade:
Se , então:
Mas como o domínio é (números reais positivos), não é válido. Portanto, é injetora.
Agora, a sobrejetividade:
Vamos ver se todo tem um tal que :
Para que seja real e positivo, precisamos que , ou seja, . Logo, só atinge valores , não todo .
Então, não é sobrejetora.
Como é injetora, mas não sobrejetora, é injetora.

Passo 4

Para injetividade:
Se , então:
Isso significa que ou . No segundo caso:
Então, se , mas , temos que a função não é injetora.
Para sobrejetividade:
Queremos que para todo , exista tal que :
ou
Como é positivo, conseguimos encontrar para qualquer . Então, é sobrejetora.
Então, não é injetora, mas é sobrejetora.

Passo 5

Primeiro, a injetividade:
Se , então:
Então, é injetora.
Agora, a sobrejetividade:
Queremos que todo tenha um tal que .
Mas, por exemplo, :
Que não pertence a . Além disso, sempre será e diferente de números onde não é múltiplo de 3.
Então, não é sobrejetora.
Portanto, é injetora.

Passo 6

Vamos simplificar :
Primeiro, checando a injetividade:
Se , pode haver casos diferentes devido ao valor absoluto. Por exemplo, e . Já, se e , temos mas . Então, a função não é injetora.
Para a sobrejetividade:
Vamos ver se todo tem um tal que .
Analisando os casos:
  • Para , , que pode assumir qualquer valor real, pois é um polinômio de segundo grau que se abre para cima e cobre todo o eixo .
  • Para , , também um polinômio de segundo grau, que cobre valores reais.
Então, parece que é sobrejetora.
Como não é injetora, mas é sobrejetora, é sobrejetora.

Passo 7

Primeiro, a injetividade:
Se , então:
Portanto, é injetora.
Agora, a sobrejetividade:
Para qualquer , existe um tal que . Basta tomar .
Então, é sobrejetora.
Como é injetora e sobrejetora, é bijetora.

Resposta

a) Bijetora
b) Injetora
c) Sobrejetora
d) Injetora
e) Sobrejetora
f) Bijetora

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