Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar a região onde vamos integrar e depois mudar a ordem de integração. Pra isso, vamos usar conceitos de geometria no plano cartesiano e entender bem os limites das integrais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração dados. A integral que temos é:
Aqui, varia de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de 2 até . Vamos desenhar essa região no plano .

Passo 3

Para desenhar a região, vamos identificar as linhas que formam os limites de :
  1. é uma linha horizontal.
  2. é uma linha reta que podemos reescrever como .
Vamos plotar essas linhas:
  • A linha é uma reta horizontal que passa pelo ponto (0,2).
  • A linha intercepta o eixo em e tem inclinação -2, passando pelo ponto (1,2).

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos de interseção dessas linhas:
  • Quando , .
  • Quando , .
Portanto, a região de integração é um trapézio delimitado por a , e .

Passo 5

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos encontrar os novos limites:
  • varia de 2 a 4.
  • Para cada , varia de 0 até . Isso vem rearranjando a equação para .

Passo 6

Com os novos limites identificados, podemos reescrever a integral com a ordem de integração trocada:

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada fica:

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a) , dada por .
b) , dada por .
c) tal que .
d) tal que
e) , dada por .
f) tal que .
Calcule: h) ,