Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar a região onde vamos integrar e depois mudar a ordem de integração. Pra isso, vamos usar conceitos de geometria no plano cartesiano e entender bem os limites das integrais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração dados. A integral que temos é:
Aqui,
varia de 0 a 1 e, para cada valor de
,
varia de 2 até
. Vamos desenhar essa região no plano
.
Passo 3
Para desenhar a região, vamos identificar as linhas que formam os limites de
:
-
é uma linha horizontal. -
é uma linha reta que podemos reescrever como .
Vamos plotar essas linhas:
- A linha
é uma reta horizontal que passa pelo ponto (0,2). - A linha
intercepta o eixo em e tem inclinação -2, passando pelo ponto (1,2).
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos de interseção dessas linhas:
- Quando
, . - Quando
, .
Portanto, a região de integração é um trapézio delimitado por
a
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para isso, precisamos encontrar os novos limites:
-
varia de 2 a 4. - Para cada
, varia de 0 até . Isso vem rearranjando a equação para .
Passo 6
Com os novos limites identificados, podemos reescrever a integral com a ordem de integração trocada:
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada fica:
Exercícios relacionados
Use o teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientado no sentido anti-horario quando visto de cima.
, C é a fronteira da parte do paraboloide
no primeiro octante.
Determinar um polinômio do terceiro grau que se anula em
e que dividido por
,
e
tenha resto 6.
Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora.
a) , dada por
.
b) , dada por
.
c) tal que
.
d) tal que
e) , dada por
.
f) tal que
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Calcule: h)
,