Calcule: h)
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa é uma integral que envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolvê-la, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos definir:
Isso porque a integral de
é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral.
Definimos:
Passo 6
Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos substituir essa expressão de volta na nossa equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação:
Agora, vamos reunir os termos com
:
Passo 9
Isolando
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a integral
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora.
a) , dada por
.
b) , dada por
.
c) tal que
.
d) tal que
e) , dada por
.
f) tal que
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
c)
c)
Considere a função
dada por
.
a) Calcule f(8).
b) Calcule .
c) Calcule .
a) Calcule f(8).
b) Calcule
c) Calcule
Considere a função
dada por
. Faça o que se pede:
a) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função não ser injetora.
b) Restrinja o domínio da função f para que a função se torne injetora.
c) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função f não ser sobrejetora.
d) restrinja o contra-domínio da função f para que a função se torne sobrejetora.
a) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função
b) Restrinja o domínio da função f para que a função se torne injetora.
c) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função f não ser sobrejetora.
d) restrinja o contra-domínio da função f para que a função se torne sobrejetora.