Calcule: h) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolvê-la, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
Isso porque a integral de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral.
Definimos:

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na nossa equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos chamar a integral original de :
Substituindo na equação:
Agora, vamos reunir os termos com :

Passo 9

Isolando :
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora.
a) , dada por .
b) , dada por .
c) tal que .
d) tal que
e) , dada por .
f) tal que .
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
c)
Considere a função dada por .
a) Calcule f(8).
b) Calcule .
c) Calcule .
Considere a função dada por . Faça o que se pede:
a) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função não ser injetora.
b) Restrinja o domínio da função f para que a função se torne injetora.
c) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função f não ser sobrejetora.
d) restrinja o contra-domínio da função f para que a função se torne sobrejetora.