Calcule: h) integral e^4 x cdot sen 5 x d x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolvê-la, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
u = e^4x Rightarrow du = 4 e^4x , dx
dv = sin(5x) , dx Rightarrow v = -15 cos(5x)
Isso porque a integral de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^4x cdot sin(5x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^4x cdot (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) cdot 4 e^4x , dx
= -15 e^4x cos(5x) + 45 integral e^4x cos(5x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos integrar u = e^4x Rightarrow du = 4 e^4x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral.
Definimos:
dv = cos(5x) , dx Rightarrow v = 15 sin(5x)

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral e^4x cos(5x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores:
= e^4x cdot 15 sin(5x) - integral 15 sin(5x) cdot 4 e^4x , dx
= 15 e^4x sin(5x) - 45 integral e^4x sin(5x) , dx

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na nossa equação original:
-15 e^4x cos(5x) + 45 ( 15 e^4x sin(5x) - 45 integral e^4x sin(5x) , dx )
Simplificando:
-15 e^4x cos(5x) + 425 e^4x sin(5x) - 1625 integral e^4x sin(5x) , dx

Passo 8

Agora, vamos chamar a integral original de I = integral e^4x sin(5x) , dx :
I = -15 e^4x cos(5x) + 425 e^4x sin(5x) - 1625 I
Substituindo na equação:
I + 1625 I = -15 e^4x cos(5x) + 425 e^4x sin(5x)
Agora, vamos reunir os termos com 4125 I = -15 e^4x cos(5x) + 425 e^4x sin(5x) :

Passo 9

Isolando I = ( -15 e^4x cos(5x) + 425 e^4x sin(5x) ) cdot 2541 :
I = -541 e^4x cos(5x) + 441 e^4x sin(5x)
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral -541 e^4x cos(5x) + 441 e^4x sin(5x) + C é:
onde é a constante de integração.

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