Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora: f: R -> R dada por f(x) = x^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificar a função definida por como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que são essas classificações e como verificar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio está mapeado para um elemento distinto no contradomínio. Em outras palavras, se então .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é injetora. Vamos supor que :
Para resolver isso, podemos tirar a raiz cúbica dos dois lados:
Como chegamos em , isso confirma que a função é injetora.

Passo 4

Em seguida, vamos falar sobre função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo , existe um tal que .

Passo 5

Vamos verificar se é sobrejetora. Dado qualquer , precisamos encontrar um tal que:
A solução para isso é:
Como para qualquer número real existe um correspondente que satisfaz a equação, a função é sobrejetora.

Passo 6

Finalmente, vamos falar sobre função bijetora. Uma função é bijetora se é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Isso significa que cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio, e todo elemento do contradomínio é atingido.

Resposta

A função é bijetora, pois é tanto injetora quanto sobrejetora.

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