Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora:
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificar a função
definida por
como injetora, sobrejetora, bijetora ou nem injetora nem sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que são essas classificações e como verificar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função injetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio está mapeado para um elemento distinto no contradomínio. Em outras palavras, se
então
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é injetora. Vamos supor que
:
Para resolver isso, podemos tirar a raiz cúbica dos dois lados:
Como chegamos em
, isso confirma que a função é injetora.
Passo 4
Em seguida, vamos falar sobre função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo
, existe um
tal que
.
Passo 5
Vamos verificar se
é sobrejetora. Dado qualquer
, precisamos encontrar um
tal que:
A solução para isso é:
Como para qualquer número real
existe um correspondente
que satisfaz a equação, a função é sobrejetora.
Passo 6
Finalmente, vamos falar sobre função bijetora. Uma função é bijetora se é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Isso significa que cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio, e todo elemento do contradomínio é atingido.
Resposta
A função
é bijetora, pois é tanto injetora quanto sobrejetora.
Exercícios relacionados
Sejam as funções reais
e
. Determine a lei da função
.
A função
tem a propriedade que:
e
. Calcule
.
Dê o domínio:
;
Uma sequencia real é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Seja a sequencia real definida por:
Obter os valores de
.