A função f: R -> R tem a propriedade que: f(n * x) = n * f(x), para todo n em N e ∀ x em R. Calcule f(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que satisfaz a propriedade para todo número natural e todo real. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de funções e propriedades de igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa propriedade da função. A equação nos diz que se a gente multiplica o argumento da função por um número natural , o resultado da função também é multiplicado por . Isso lembra um pouco funções lineares, mas vamos focar no que precisamos para achar .

Passo 3

Vamos substituir por 0 na equação dada. Assim, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, temos a equação . Queremos descobrir .

Passo 4

Essa equação precisa ser verdadeira para todo número natural . Vamos analisar isso. Se subtrairmos dos dois lados, temos:
Fatorando :
Como é um número natural maior ou igual a 1, será diferente de zero para . Portanto, para que a equação seja verdadeira, o único jeito é que .

Resposta

Portanto, .

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