A função
tem a propriedade que:
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que satisfaz a propriedade
para todo número natural
e todo
real. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de funções e propriedades de igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa propriedade da função. A equação
nos diz que se a gente multiplica o argumento da função por um número natural
, o resultado da função também é multiplicado por
. Isso lembra um pouco funções lineares, mas vamos focar no que precisamos para achar
.
Passo 3
Vamos substituir
por 0 na equação dada. Assim, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, temos a equação
. Queremos descobrir
.
Passo 4
Essa equação precisa ser verdadeira para todo número natural
. Vamos analisar isso. Se subtrairmos
dos dois lados, temos:
Fatorando
:
Como
é um número natural maior ou igual a 1,
será diferente de zero para
. Portanto, para que a equação seja verdadeira, o único jeito é que
.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas.
A Função Erro dada por
é uma importante função utilizada em estatística, probabilidade e engenharia. Mostre que a função
satisfaz a equação diferencial
Sejam as funções reais
e
. Determine a lei da função
.
Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora:
dada por
;