Classifique as funções em racional ( r ) ou não racional ( n ); racional própria § ou racional imprópria (i)
f(x) = (4x^2 - 8x) / ((x - 1)^2 * (x^2 + 1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar a função como racional ou não racional, e se for racional, dizer se é própria ou imprópria. Para isso, vamos precisar entender o que são funções racionais e como identificar se elas são próprias ou impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função racional. Uma função é considerada racional se ela pode ser escrita como o quociente de dois polinômios, ou seja, , onde e são polinômios e .

Passo 3

Agora, dentro das funções racionais, temos duas categorias: próprias e impróprias. Uma função racional é própria se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador. Já é imprópria se o grau do numerador for igual ou maior que o grau do denominador.

Passo 4

Vamos analisar a função dada:
Primeiro, vamos identificar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.
  • Numerador: . O termo de maior grau é , então o grau do numerador é 2.
  • Denominador: . Vamos expandir para facilitar:
    (grau 2)
    (grau 4)
    Multiplicando os dois:
    O grau do denominador será a soma dos graus dos fatores, ou seja, 2 + 4 = 6.

Passo 5

Agora que sabemos os graus:
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 6
Como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (6), a função é uma função racional própria.

Resposta

A função é uma função racional própria.

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