Classifique as funções em racional ( r ) ou não racional ( n ); racional própria § ou racional imprópria (i)
f(x) = ln(x^2 + 9) / (x^4 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a função como racional (marcado com “r”) ou não racional (marcado com “n”). Se for racional, ainda temos que dizer se é racional própria (“p”) ou racional imprópria (“i”). Para fazer isso, vamos precisar entender o que são funções racionais e como identificar corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função racional. Uma função racional é aquela que pode ser escrita como o quociente de dois polinômios. Ou seja, tem a forma , onde e são polinômios e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Aqui, o numerador é . O logaritmo natural de um polinômio não é um polinômio. Já o denominador é , que é um polinômio.

Passo 4

Como o numerador da função não é um polinômio (devido ao logaritmo), a função como um todo não é uma função racional. Isso porque, para ser racional, tanto o numerador quanto o denominador precisam ser polinômios.

Passo 5

Já que concluímos que a função não é racional, não precisamos classificá-la como própria ou imprópria. Essas categorias só se aplicam quando a função é racional.

Resposta

A função é não racional (n).

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