Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
Se
é convergente, então
é absolutamente convergente no intervalo
.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas séries:
- A série dos valores absolutos:
que está convergindo. - A série potência:
no intervalo .
O conteúdo envolvido aqui é o de convergência de séries, especificamente a convergência absoluta e a convergência de séries de potências. Vamos precisar entender como a convergência da série dos valores absolutos afeta a convergência da série potência no intervalo dado.
Passo 2
Sabemos que se a série dos valores absolutos
converge, isso significa que a série
converge absolutamente. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original independentemente da ordem dos termos.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série potência
. Para que essa série convirja absolutamente em
, precisamos verificar se
converge para todo
nesse intervalo.
Passo 4
Note que
. No intervalo
, temos que
. Portanto,
.
Passo 5
Como sabemos que
converge, e já que
para todo
em
, pelo teste de comparação, a série
também converge para todo
nesse intervalo.
Resposta
(V)