Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
y = ln(x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso faz parte do estudo de séries de Taylor, onde representamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver, vamos usar a fórmula da série de Taylor para logaritmos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Taylor para em torno de é dada por:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo elevado a diferentes potências.

Passo 3

Vamos expandir os primeiros termos dessa série para entender melhor:
Cada termo alterna de sinal e envolve elevado a uma potência crescente, dividido pelo número da potência.

Passo 4

Portanto, a representação em série de potências para é:
Essa série converge para , ou seja, vale para valores de entre -1 e 1.

Resposta

A série de potências para é:

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