Obtenha uma representação em série de potências para as funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
. Isso faz parte do estudo de séries de Taylor, onde representamos funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para resolver, vamos usar a fórmula da série de Taylor para logaritmos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de Taylor para
em torno de
é dada por:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo
elevado a diferentes potências.
Passo 3
Vamos expandir os primeiros termos dessa série para entender melhor:
Cada termo alterna de sinal e envolve
elevado a uma potência crescente, dividido pelo número da potência.
Passo 4
Portanto, a representação em série de potências para
é:
Essa série converge para
, ou seja, vale para valores de
entre -1 e 1.
Resposta
A série de potências para
é: