Seja
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Determine o domínio de
.
Determine o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função
e pede para determinar o domínio dessa função. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, especificamente séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender quando a série converge, ou seja, para quais valores de
essa soma infinita tem um resultado definido.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum.
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica converge se e somente se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja:
Aplicando isso à nossa série:
Que simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Isso significa que a distância entre
e 2 deve ser menor que 1. Resolvendo a desigualdade:
Adicionando 2 em todas as partes da desigualdade:
Passo 5
Portanto, a série
converge para valores de
que satisfazem
. Isso significa que o domínio da função
é exatamente esse intervalo.
Resposta
O domínio de
é
.