Seja f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n(x-2)^n.
Determine o domínio de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função e pede para determinar o domínio dessa função. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, especificamente séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender quando a série converge, ou seja, para quais valores de essa soma infinita tem um resultado definido.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^+infty ar^n
onde a = 1 e r = - (x - 2) é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica converge se e somente se o valor absoluto da razão |r| < 1 for menor que 1, ou seja:
| - (x - 2) | < 1
Aplicando isso à nossa série:
|x - 2| < 1
Que simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade -1 < x - 2 < 1 . Isso significa que a distância entre 1 < x < 3 e 2 deve ser menor que 1. Resolvendo a desigualdade:
Adicionando 2 em todas as partes da desigualdade:

Passo 5

Portanto, a série converge para valores de que satisfazem . Isso significa que o domínio da função é exatamente esse intervalo.

Resposta

O domínio de é .

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