Considere a série sumn=1^+infty an, sendo que:
a1=1 e an+1=(1+arctan nn) cdot an
Determine se a série sumn=1^+infty an converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita , onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é dado por . A gente vai precisar entender sobre séries infinitas e usar testes de convergência para descobrir se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os termos da série estão se comportando. A relação de recorrência nos permite determinar cada termo a partir do anterior. Para analisar a convergência, vamos aplicar o Teste da Razão.
O Teste da Razão diz que, para uma série , se o limite for :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular esse limite L = limn to infty an+1an = limn to infty 1 + arctan nn :
L = limn to infty 1 + pi2n = limn to infty 1 + pi2n = 0
Sabemos que tende a quando vai para o infinito. Então:

Passo 4

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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