Classifique os pontos críticos de:
(i)

Passo 1

Então, temos a função e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dela. Isso envolve calcular as derivadas parciais, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois determinar se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo e .
  • Para :
  • Para :
    O termo nunca é zero, então:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico , vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos das segundas derivadas:
  • Segunda derivada em relação a :
  • Segunda derivada em relação a :
  • Derivada mista:

Passo 5

Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto :
Agora, calculamos o discriminante :

Passo 6

Quando o discriminante , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a natureza do ponto crítico apenas com esse método. Para classificar completamente o ponto , precisaríamos de métodos adicionais.

Resposta

O único ponto crítico da função é , e sua classificação é inconclusiva usando o teste da segunda derivada.

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(f)
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(e)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
5.
Classifique os pontos críticos de:
(g).