Classifique os pontos críticos de:
(i)
(i)
Passo 1
Então, temos a função
e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dela. Isso envolve calcular as derivadas parciais, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois determinar se esses pontos são mínimos, máximos ou pontos de sela. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
e
.
-
Para
: -
Para
: O termonunca é zero, então:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico
, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos das segundas derivadas:
-
Segunda derivada em relação a
: -
Segunda derivada em relação a
: -
Derivada mista:
Passo 5
Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto
:
Agora, calculamos o discriminante
:
Passo 6
Quando o discriminante
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a natureza do ponto crítico apenas com esse método. Para classificar completamente o ponto
, precisaríamos de métodos adicionais.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
, e sua classificação é inconclusiva usando o teste da segunda derivada.
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Classifique os pontos críticos de:
(f)
(f)
Classifique os pontos críticos de:
(e)
(e)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
5.
5.
Classifique os pontos críticos de:
(g).
(g).