Classifique os pontos críticos de:
(g).
(g).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar os pontos críticos da função
. Isso envolve cálculo multivariado, especificamente procurando os pontos onde as derivadas parciais são zero e depois determinando se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar onde elas são zero e então usar o critério da segunda derivada para classificar os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Como
, fica:
Para
:
Assim, similarmente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
e
que satisfazem:
Então, temos o sistema:
Passo 4
Observamos que as duas equações são bastante similares. Se subtrairmos uma da outra:
Então, temos que
. Vamos substituir isso em uma das equações originais, por exemplo, na primeira:
Passo 5
Factorizando:
Então, temos duas soluções:
-
-
ou
Como
, os pontos críticos são:
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o critério da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Quando
, o ponto é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, o ponto é um máximo local.
Para
:
Novamente,
e
, então o ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
, que é um ponto de sela, e
e
, que são máximos locais.
Exercícios relacionados
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
5.
5.
Classifique os pontos críticos de:
(i)
(i)
Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
(2)
(2)
Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
8.
8.