Classifique os pontos críticos de:
(g). f(x, y) = 8xy - 1 / 4(x + y)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar os pontos críticos da função . Isso envolve cálculo multivariado, especificamente procurando os pontos onde as derivadas parciais são zero e depois determinando se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar onde elas são zero e então usar o critério da segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Como , fica:
Para :
Assim, similarmente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de e que satisfazem:
Então, temos o sistema:

Passo 4

Observamos que as duas equações são bastante similares. Se subtrairmos uma da outra:
Então, temos que . Vamos substituir isso em uma das equações originais, por exemplo, na primeira:

Passo 5

Factorizando:
Então, temos duas soluções:
  1. ou
Como , os pontos críticos são:

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o critério da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Quando , o ponto é um ponto de sela.
Para :
Como e , o ponto é um máximo local.
Para :
Novamente, e , então o ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e e , que são máximos locais.

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