Classifique os pontos críticos de:
(e) f(x, y) = x^3 + y^3 - 6y^2 - 3x + 9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte do conteúdo de derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais se anulam e, depois, analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos :
Depois, resolvemos :

Passo 4

Com isso, temos os possíveis pontos críticos combinando os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 6

Vamos calcular para cada ponto:
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Para :
Como e , esse ponto é um mínimo local.
  1. Para :
Como e , esse ponto é um máximo local.
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • é um ponto de sela.
  • é um mínimo local.
  • é um máximo local.
  • é um ponto de sela.

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