Classifique os pontos críticos de:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do conteúdo de derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais se anulam e, depois, analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos
:
Depois, resolvemos
:
Passo 4
Com isso, temos os possíveis pontos críticos combinando os valores de
e
:
Passo 5
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto:
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
- Para
:
Como
e
, esse ponto é um máximo local.
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos e suas classificações são:
-
é um ponto de sela. -
é um mínimo local. -
é um máximo local. -
é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
(4)
(4)
Classifique os pontos críticos de:
(b)
(b)
Classifique os pontos críticos de:
(f)
(f)
Classifique os pontos críticos de:
(i)
(i)