Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
5. sumn=1^infty ln nn+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para encontrar e , depois geral, e por fim, verificar se a soma da série converge. Vamos precisar entender séries infinitas e como somar termos usando logaritmos. Vamos dividir isso em partes para ficar mais fácil de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular sumn=1^infty ln ( nn+1 ) e S1 = ln ( 12 ) . S2 = ln ( 12 ) + ln ( 23 ) representa a soma dos primeiros S3 = ln ( 12 ) + ln ( 23 ) + ln ( 34 ) termos da série. A série dada é:
Então,

Passo 3

Agora, vamos somar esses logaritmos. Lembrando que S1 = ln ( 12 ) , podemos simplificar:
S2 = ln ( 12 times 23 ) = ln ( 13 )
S3 = ln ( 12 times 23 times 34 ) = ln ( 14 )

Passo 4

Parece que estamos formando uma sequência onde cada Sn = ln ( 1n+1 ) = -ln (n+1) . Então, podemos generalizar isso para qualquer :

Passo 5

Agora, para encontrar a soma da série limn to infty Sn = limn to infty -ln (n+1) = -infty , precisamos avaliar o limite de quando tende ao infinito:
Isso significa que a série não converge para um número finito.

Resposta

(a) , , ; (b) ; © A série não converge.

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