Classifique os pontos críticos de:
(i)

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para a gente classificar os pontos críticos da função . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente analisando pontos críticos – aqueles onde as derivadas parciais são zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero e, depois, determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são zero:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, podemos simplificar as equações:
Isso acontece quando , onde é qualquer inteiro.

Passo 4

Com os valores de identificados, agora vamos determinar os valores de . Como nunca é zero, a única condição para e é que . Assim, os pontos críticos são todos os pares onde e pode ser qualquer número real.

Passo 5

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o determinante Hessiano :

Passo 6

Vamos avaliar o Hessiano nos pontos críticos . Nesses pontos:
Então:
Substituindo no determinante Hessiano:
Quando o determinante Hessiano é zero, o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos analisar a função de outra maneira para determinar a natureza desses pontos.
Observando a função , percebemos que para , para quaisquer . Além disso, perto desses pontos, o termo é sempre não negativo, o que indica que os pontos críticos são pontos de mínimo global, já que a função não assume valores negativos.

Resposta

Todos os pontos , com e real, são pontos de mínimo global da função .

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