Classifique os pontos críticos de:
(i)
(i)
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para a gente classificar os pontos críticos da função
. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente analisando pontos críticos – aqueles onde as derivadas parciais são zero. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero e, depois, determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos
onde ambas as derivadas parciais são zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, podemos simplificar as equações:
Isso acontece quando
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 4
Com os valores de
identificados, agora vamos determinar os valores de
. Como
nunca é zero, a única condição para
e
é que
. Assim, os pontos críticos são todos os pares
onde
e
pode ser qualquer número real.
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o determinante Hessiano
:
Passo 6
Vamos avaliar o Hessiano nos pontos críticos
. Nesses pontos:
Então:
Substituindo no determinante Hessiano:
Quando o determinante Hessiano é zero, o teste é inconclusivo. Portanto, precisamos analisar a função de outra maneira para determinar a natureza desses pontos.
Observando a função
, percebemos que para
,
para quaisquer
. Além disso, perto desses pontos, o termo
é sempre não negativo, o que indica que os pontos críticos são pontos de mínimo global, já que a função não assume valores negativos.
Resposta
Todos os pontos
, com
e
real, são pontos de mínimo global da função
.
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