O ponto é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(d)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o ponto crítico da função . A matéria que vamos usar aqui é o estudo de tipos de pontos críticos em funções de duas variáveis, especificamente usando derivadas parciais e o determinante da matriz Hessiana para classificar o ponto como mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e para verificar se é realmente um ponto crítico.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
No ponto :
Então, é de fato um ponto crítico.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem necessárias para a matriz Hessiana.
A segunda derivada parcial em relação a :
A segunda derivada parcial em relação a :
E a derivada mista:
No ponto :

Passo 4

A seguir, construímos a matriz Hessiana no ponto :

Passo 5

Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é positivo e , isso indica que o ponto é um ponto de máximo local.

Resposta

O ponto é um ponto de máximo local para a função .

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