O ponto (0,0) é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(d) k(x, y) = cos(x) cos(y)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o ponto crítico (0,0) da função . A matéria que vamos usar aqui é o estudo de tipos de pontos críticos em funções de duas variáveis, especificamente usando derivadas parciais e o determinante da matriz Hessiana para classificar o ponto como mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de k em relação a x e y para verificar se (0,0) é realmente um ponto crítico.
A derivada parcial em relação a x é:
E a derivada parcial em relação a y é:
No ponto (0,0):
Então, (0,0) é de fato um ponto crítico.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem necessárias para a matriz Hessiana.
A segunda derivada parcial em relação a x:
A segunda derivada parcial em relação a y:
E a derivada mista:
No ponto (0,0):

Passo 4

A seguir, construímos a matriz Hessiana no ponto (0,0):

Passo 5

Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é positivo e , isso indica que o ponto (0,0) é um ponto de máximo local.

Resposta

O ponto (0,0) é um ponto de máximo local para a função .

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