O ponto
é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o ponto crítico
da função
. A matéria que vamos usar aqui é o estudo de tipos de pontos críticos em funções de duas variáveis, especificamente usando derivadas parciais e o determinante da matriz Hessiana para classificar o ponto como mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
para verificar se
é realmente um ponto crítico.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
No ponto
:
Então,
é de fato um ponto crítico.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de segunda ordem necessárias para a matriz Hessiana.
A segunda derivada parcial em relação a
:
A segunda derivada parcial em relação a
:
E a derivada mista:
No ponto
:
Passo 4
A seguir, construímos a matriz Hessiana no ponto
:
Passo 5
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é positivo e
, isso indica que o ponto
é um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto
é um ponto de máximo local para a função
.
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