Classifique os pontos críticos de:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre pontos críticos e classificação usando derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar a concavidade usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular e e igualar a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Agora, igualamos ambas a zero:
Resolvendo essas equações:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora que temos o ponto crítico, vamos classificá-lo. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o discriminante :

Passo 4

Com o valor de determinado, usamos a seguinte regra para classificar o ponto crítico:
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, , então o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico é um ponto de sela da função .

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