Classifique os pontos críticos de:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente sobre pontos críticos e classificação usando derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e analisar a concavidade usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular
e
e igualar a zero.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E em relação a
:
Agora, igualamos ambas a zero:
Resolvendo essas equações:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora que temos o ponto crítico, vamos classificá-lo. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o discriminante
:
Passo 4
Com o valor de
determinado, usamos a seguinte regra para classificar o ponto crítico:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste não é conclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico
é um ponto de sela da função
.
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