O ponto é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e o ponto crítico é . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de ponto crítico é esse. Para isso, vamos precisar usar a análise de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso nos ajuda a confirmar que é mesmo um ponto crítico.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
No ponto , ambas as derivadas parciais são zero:
Então, é realmente um ponto crítico.

Passo 3

Agora, para determinar o tipo de ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto :

Passo 4

O próximo passo é calcular o discriminante , que é dado por:
Substituindo os valores no ponto :
Quando o discriminante , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Então, precisamos analisar a função de outra maneira.

Passo 5

Vamos olhar a função . Sabemos que e são sempre positivos ou zero, já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo. Assim, nunca é negativo e é igual a zero somente quando e .
Isso significa que atinge seu mínimo valor no ponto .

Resposta

O ponto crítico é um mínimo local da função .

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