O ponto
é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e o ponto crítico é
. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de ponto crítico é esse. Para isso, vamos precisar usar a análise de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso nos ajuda a confirmar que
é mesmo um ponto crítico.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
No ponto
, ambas as derivadas parciais são zero:
Então,
é realmente um ponto crítico.
Passo 3
Agora, para determinar o tipo de ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto
:
Passo 4
O próximo passo é calcular o discriminante
, que é dado por:
Substituindo os valores no ponto
:
Quando o discriminante
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Então, precisamos analisar a função de outra maneira.
Passo 5
Vamos olhar a função
. Sabemos que
e
são sempre positivos ou zero, já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo. Assim,
nunca é negativo e é igual a zero somente quando
e
.
Isso significa que
atinge seu mínimo valor no ponto
.
Resposta
O ponto crítico
é um mínimo local da função
.
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Classifique os pontos críticos de:
(i)
(i)
Classifique os pontos críticos de:
©
©
O ponto
é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(d)
(d)
Classifique os pontos críticos de:
(d)
(d)