Classifique, se possive, as sequëncias abaixo quanto à sua monotonicidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar a sequência
quanto à sua monotonicidade. Isso significa que precisamos descobrir se a sequência está sempre aumentando, sempre diminuindo ou se não segue um padrão específico. Para isso, vamos usar conceitos de crescimento de funções e comparar os termos consecutivos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser monotônica. Uma sequência é chamada monotônica crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e monotônica decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Se não seguir nenhum desses padrões, a sequência não é monotônica.
Passo 3
Para verificar a monotonicidade da nossa sequência
, vamos comparar dois termos consecutivos:
e
. Se
para todo
, a sequência é decrescente; se
, é crescente.
Passo 4
Vamos calcular a razão entre
e
:
Passo 5
Agora, vamos analisar a expressão
. Sabemos que
cresce exponencialmente à medida que
aumenta. Isso significa que o denominador fica cada vez maior, fazendo com que a fração toda diminua.
Passo 6
Como
é sempre menor que 1 para todo
positivo, isso implica que:
Passo 7
Como a razão
é sempre menor que 1, isso quer dizer que cada termo
é menor que o termo anterior
. Portanto, a sequência está sempre diminuindo conforme
aumenta.
Resposta
A sequência
é monotonamente decrescente.
Exercícios relacionados
Um fabricante determinou que o custo de fazer
unidades de uma mercadoria é
e a função demanda é
. Use o cálculo para achar o nível de produção para o lucro máximo.
1
Sejam um intervalo não-degenerado e
um número natural. Prove
que o conjunto dos números racionais , cujos denominadores são potencias de
com expoente
, é denso em
.
Sejam
que o conjunto dos números racionais
Prove que, para todo
, vale
. Conclua que
é fechado se, e somente se,
.
Determine, usando diferencial, valores aproximados para: