Classifique, se possive, as sequëncias abaixo quanto à sua monotonicidade.
u_n = 5^n / 2^(n^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar a sequência quanto à sua monotonicidade. Isso significa que precisamos descobrir se a sequência está sempre aumentando, sempre diminuindo ou se não segue um padrão específico. Para isso, vamos usar conceitos de crescimento de funções e comparar os termos consecutivos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser monotônica. Uma sequência é chamada monotônica crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e monotônica decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior. Se não seguir nenhum desses padrões, a sequência não é monotônica.

Passo 3

Para verificar a monotonicidade da nossa sequência , vamos comparar dois termos consecutivos: e . Se para todo , a sequência é decrescente; se , é crescente.

Passo 4

Vamos calcular a razão entre e :

Passo 5

Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que cresce exponencialmente à medida que aumenta. Isso significa que o denominador fica cada vez maior, fazendo com que a fração toda diminua.

Passo 6

Como é sempre menor que 1 para todo positivo, isso implica que:

Passo 7

Como a razão é sempre menor que 1, isso quer dizer que cada termo é menor que o termo anterior . Portanto, a sequência está sempre diminuindo conforme aumenta.

Resposta

A sequência é monotonamente decrescente.

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