Um fabricante determinou que o custo de fazer
unidades de uma mercadoria é
e a função demanda é
. Use o cálculo para achar o nível de produção para o lucro máximo.
Passo 1
Beleza! A gente tem um problema aqui onde um fabricante quer saber quantas unidades (
x
) de um produto ele deve produzir para maximizar o lucro. A gente vai mexer com funções de custo e demanda, e usar cálculo para encontrar esse ponto ótimo. Vamos precisar entender como calcular lucro a partir dessas funções e encontrar o valor de x
que deixa o lucro no maior valor possível.Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que temos:
- A função de custo:
- A função de demanda (preço):
Passo 3
O lucro (
L
) é calculado pela diferença entre a receita (R
) e o custo (C
). Então, temos:Passo 4
A receita é o preço multiplicado pela quantidade vendida, ou seja:
Passo 5
Agora, substituímos
R(x)
e C(x)
na fórmula do lucro:Vamos simplificar isso:
Passo 6
Para encontrar o máximo lucro, a gente precisa encontrar o valor de
x
que torna a derivada de L(x)
igual a zero. Isso porque, matematicamente, os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.Primeiro, vamos derivar
L(x)
:Passo 7
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por 1000 para eliminar os decimais:
Rearranjando:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 8
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante (
):
Passo 9
Agora, aplicamos na fórmula:
Calculando a raiz:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos
x = -48
.Passo 10
Então, a quantidade que maximiza o lucro é aproximadamente 161 unidades.
Resposta
O nível de produção para o lucro máximo é de aproximadamente 161 unidades.
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1
Sejam um intervalo não-degenerado e
um número natural. Prove
que o conjunto dos números racionais , cujos denominadores são potencias de
com expoente
, é denso em
.
Sejam
que o conjunto dos números racionais
Determine, usando diferencial, valores aproximados para:
Classifique, se possive, as sequëncias abaixo quanto à sua monotonicidade.
Prove que, para todo
, vale
. Conclua que
é fechado se, e somente se,
.