Um fabricante determinou que o custo de fazer x unidades de uma mercadoria é C(x) = 1800 + 25 x 0,2 x^2 + 0,001 x 3 e a função demanda é p(x) = 48,2 - 0,03 x. Use o cálculo para achar o nível de produção para o lucro máximo.

Passo 1

Beleza! A gente tem um problema aqui onde um fabricante quer saber quantas unidades (x) de um produto ele deve produzir para maximizar o lucro. A gente vai mexer com funções de custo e demanda, e usar cálculo para encontrar esse ponto ótimo. Vamos precisar entender como calcular lucro a partir dessas funções e encontrar o valor de x que deixa o lucro no maior valor possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
  • A função de custo:
  • A função de demanda (preço):

Passo 3

O lucro (L) é calculado pela diferença entre a receita (R) e o custo (C). Então, temos:

Passo 4

A receita é o preço multiplicado pela quantidade vendida, ou seja:

Passo 5

Agora, substituímos R(x) e C(x) na fórmula do lucro:
Vamos simplificar isso:

Passo 6

Para encontrar o máximo lucro, a gente precisa encontrar o valor de x que torna a derivada de L(x) igual a zero. Isso porque, matematicamente, os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
Primeiro, vamos derivar L(x):

Passo 7

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por 1000 para eliminar os decimais:
Rearranjando:
Multiplicando por -1 para facilitar:

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante ( ):

Passo 9

Agora, aplicamos na fórmula:
Calculando a raiz:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos x = -48.

Passo 10

Então, a quantidade que maximiza o lucro é aproximadamente 161 unidades.

Resposta

O nível de produção para o lucro máximo é de aproximadamente 161 unidades.

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1
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