Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(17)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Precisamos encontrar um valor aproximado para raiz(17) usando o conceito de diferenciais. Para isso, vamos usar a ideia de aproximação linear, que nos permite estimar valores próximos a um ponto conhecido.

Passo 2

Escolheremos um número próximo a 17 cujo valor da raiz quadrada seja fácil de calcular. Um bom candidato é 16, porque sabemos que . Então, vamos usar 16 como nosso ponto de referência ( a).

Passo 3

Agora, vamos considerar uma pequena mudança em relação a 16. Como queremos calcular raiz(17), a mudança ( ) é de 1, ou seja, .

Passo 4

Para usar a aproximação linear, precisamos da derivada da função f(x) = raiz(x). A derivada de f(x) é:
No nosso caso, em , a derivada fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da aproximação linear:
Substituindo os valores que temos:

Resposta

O valor aproximado de raiz(17) usando diferenciais é 4,125.

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