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Sejam um intervalo não-degenerado e um número natural. Prove
que o conjunto dos números racionais , cujos denominadores são potencias de com expoente , é denso em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, dado um intervalo que não é um único ponto (ou seja, tem comprimento), e um número natural , o conjunto dos números racionais da forma (onde é um número natural) está “denso” em .
Matéria envolvida: Topologia dos Números Reais, especificamente o conceito de densidade de conjuntos.
O que vamos precisar:
Entender o que significa um conjunto ser denso em um intervalo.
Utilizar propriedades dos números racionais e das potências de .
Fazer uma aproximação de qualquer número no intervalo usando elementos do conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser denso em um intervalo. Um conjunto é denso em se, para qualquer número real em e para qualquer , existe um elemento em tal que a distância entre e é menor que . Em outras palavras, você pode “aproximar” qualquer ponto do intervalo com os elementos de .
Passo 3
Nosso conjunto é formado por números da forma , onde e são números naturais e . Queremos mostrar que, para qualquer número em e qualquer , existe um em tal que:
Passo 4
Como é um intervalo não-degenerado, ele tem comprimento positivo. Vamos considerar que está no conjunto dos números reais . Selecionamos um arbitrário em e um .
Nosso objetivo é encontrar e tais que esteja próximo de o suficiente, dentro de .
Passo 5
Vamos escolher de forma que . Isso é possível porque , então cresce sem limites conforme aumenta, fazendo com que fique cada vez menor.
Escolhendo tal , podemos então aproximar por algum múltiplo de .
Passo 6
Agora, definimos como o número inteiro mais próximo a . Isso garante que seja o múltiplo de mais próximo de .
Matematicamente:
Isso significa que:
Passo 7
Portanto, para qualquer em e qualquer , encontramos e tais que está dentro de de . Isso prova que o conjunto é denso em .
Resposta
Concluímos que o conjunto dos números racionais , com e naturais e , é de fato denso em qualquer intervalo não-degenerado .