Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(h)
(h)
Passo 1
Vamos analisar a sequência
para identificar se ela é crescente, decrescente ou não apresenta monotonicidade. Para isso, vamos precisar entender de sequências numéricas e o conceito de monotonicidade, que nos ajuda a determinar se os termos estão sempre aumentando ou diminuindo conforme o índice
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser monotônica:
- Crescente: Cada termo é maior que o anterior.
- Decrescente: Cada termo é menor que o anterior.
- Não monotônica: A sequência não segue um padrão consistente de aumento ou diminuição.
Passo 3
Para verificar a monotonicidade da sequência
, vamos comparar o termo geral com o próximo termo, ou seja, comparar
com
. Se
para todo
, a sequência é crescente. Se
para todo
, é decrescente.
Passo 4
Calculamos a razão entre
e
:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Agora, analisamos o valor de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Resolvendo
:
E
:
Passo 6
Interpretando os resultados:
- Para
(ou seja, ), , então . - Para
, , então .
Resposta
A sequência
é decrescente para
e crescente para todo
. Portanto, ela não é estritamente monotônica, pois muda seu comportamento em
.
Exercícios relacionados
Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(b)
(b)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(o)
(o)
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
(b)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(e)
(e)