Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os quatro primeiros termos da sequência definida por
e também calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e limites, além de saber como calcular raízes de índices variados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da sequência. Isso significa calcular
,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão usando logaritmos, porque eles ajudam a lidar com exponenciais e raízes:
Aplicando o logaritmo natural:
Agora, observamos que quando
cresce,
cresce mais devagar que
, então:
Voltando à expressão original:
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são:
E o limite da sequência quando
tende ao infinito é:
Exercícios relacionados
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(k)
(k)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(h)
(h)
Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(b)
(b)
Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(h)
(h)