Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(o) un=raiz[n]n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os quatro primeiros termos da sequência definida por e também calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e limites, além de saber como calcular raízes de índices variados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da sequência. Isso significa calcular , , e .

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
  1. Para u1 = raiz[1]1 = 1 :
u2 = raiz[2]2 = raiz2 approx 1,4142
  1. Para u3 = raiz[3]3 approx 1,4422 :
u4 = raiz[4]4 = raizraiz4 = raiz2 approx 1,4142
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando limn to infty raiz[n]n tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:
limn to infty raiz[n]n = limn to infty n^1/n
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão usando logaritmos, porque eles ajudam a lidar com exponenciais e raízes:
ln( limn to infty n^1/n ) = limn to infty ln nn
Aplicando o logaritmo natural:
limn to infty ln nn = 0
Agora, observamos que quando ln( limn to infty n^1/n ) = 0 cresce, limn to infty n^1/n = e^0 = 1 cresce mais devagar que , então:
Voltando à expressão original:

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são:
u1 = 1
u2 approx 1,4142
u3 approx 1,4422
u4 approx 1,4142
E o limite da sequência quando limn to infty raiz[n]n = 1 tende ao infinito é:

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Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(k) un=(1-2n)^n
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(h) un=n^25 n+3
Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(b) {1/3, -2/9, 4/27, -8/81, ...}
Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(h) u_n = n!/3^n