Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. Nosso objetivo é verificar se essa sequência é crescente, decrescente ou se não possui uma monotonicidade definida. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e comparações entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser crescente ou decrescente:
- Crescente: Cada termo é maior que o anterior, ou seja,
para todo . - Decrescente: Cada termo é menor que o anterior, ou seja,
para todo .
Passo 3
Para determinar a monotonicidade da sequência, vamos comparar o termo
com
. Se o quociente
for maior que 1, a sequência é crescente. Se for menor que 1, a sequência é decrescente.
Passo 4
Vamos calcular o quociente
:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Passo 5
Agora, analisamos o valor de
:
Observamos que, à medida que
aumenta, o denominador
também aumenta, o que faz com que o quociente diminua.
Passo 6
Como
para todo
natural, isso implica que
. Portanto, a sequência está sempre diminuindo.
Exemplo para
:
Isso confirma que, já a partir de
, a sequência é decrescente.
Resposta
A sequência
é decrescente para todo
natural.
Exercícios relacionados
Com base nelas, calcule:
(a)
(a)
Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(d)
(d)
Com base nelas, calcule:
(f)
(f)
(a)