ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
(f) senh^2 x+cosh ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular senh^2 x + cosh^2 x. A gente já tem as fórmulas do seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, que são baseadas nas funções exponenciais. Vamos usar essas definições pra fazer os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as fórmulas de senh x e cosh x na expressão que queremos calcular:
senh^2 x + cosh^2 x = ( e^x - e^-x2 )^2 + ( e^x + e^-x2 )^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de cada termo:
( e^x - e^-x2 )^2 = (e^x - e^-x)^24 = e^2x - 2e^xe^-x + e^-2x4
( e^x + e^-x2 )^2 = (e^x + e^-x)^24 = e^2x + 2e^xe^-x + e^-2x4

Passo 4

Vamos somar as duas frações resultantes:
e^2x - 2e^xe^-x + e^-2x4 + e^2x + 2e^xe^-x + e^-2x4 = 2e^2x + 2e^-2x4

Passo 5

Simplificando a expressão:
2e^2x + 2e^-2x4 = e^2x + e^-2x2

Passo 6

Reconhecemos que essa é a definição do cosseno hiperbólico de 2x:
cosh 2x = e^2x + e^-2x2

Resposta

senh^2 x + cosh^2 x = cosh 2x

Exercícios relacionados

Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(e) u_n = 10^n / (2n)!
ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
(a) cosh (0) e cosh (1)
(a) 2^x = e^(x + 1)
Suponha que u_n seja uma sequência monótona tal que u_n <= 5. Esta sequência deve convergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite?