Dados os termos abaixo, determine uma expressão para as sequências.
(d) {0, 1/4, 2/9, 3/16, ...}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O desafio aqui é dar uma fórmula que descreva todos os termos da sequência {0, 1/4, 2/9, 3/16, ...}. Isso tá ligado ao estudo de sequências numéricas, onde a gente procura um padrão para encontrar uma expressão geral que gere qualquer termo da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os numeradores e denominadores separadamente para ver se a gente identifica algum padrão. Olhando os termos:
  • Primeiro termo: 0 (que pode ser visto como )
  • Segundo termo: 1/4
  • Terceiro termo: 2/9
  • Quarto termo: 3/16
Percebemos que o numerador aumenta de 1 em 1: . Já o denominador parece ser o quadrado de números inteiros: , , , , e por aí vai.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como relacionar a posição do termo na sequência com esses numeradores e denominadores. Se considerarmos que o primeiro termo ( 0) está na posição 0, então o n-ésimo termo tem o numerador igual a n e o denominador igual a . Então, podemos escrever a expressão geral da seguinte forma:

Resposta

A expressão geral para a sequência é:

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Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
§ un=7^-n 3^n-1
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(l) un=n^22^n
ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
(a) cosh (0) e cosh (1)
Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
(e) u_n = 10^n / (2n)!