Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício apresenta um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Nosso objetivo é resolver esse sistema, ou seja, encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar técnicas de álgebra, como o método de eliminação, que vai ajudar a simplificar o sistema passo a passo até chegarmos à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
x - 3y + 2z = 1 x + y - z = 1 3x - 5y + 3z = 3
O que queremos fazer aqui é eliminar uma das variáveis das duas primeiras equações para reduzir o sistema para duas equações com duas variáveis, facilitando a resolução.
Passo 3
Vamos eliminar a variável (x - 3y + 2z) - (x + y - z) = 1 - 1 das duas primeiras equações. Para isso, podemos subtrair a segunda equação da primeira:
-4y + 3z = 0
Simplificando:
-4y + 3z = 0 (1)
Agora, temos uma nova equação:
Passo 4
Agora, vamos eliminar 3(x + y - z) = 3 times 1 Rightarrow 3x + 3y - 3z = 3 também da terceira equação usando a segunda equação. Podemos multiplicar a segunda equação por 3 e subtrair da terceira:
(3x - 5y + 3z) - (3x + 3y - 3z) = 3 - 3
Subtraindo isso da terceira equação:
-8y + 6z = 0 (2)
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos duas equações com duas variáveis:
-4y + 3z = 0 (1) -8y + 6z = 0 (2)
Percebemos que a segunda equação é o dobro da primeira:
-8y + 6z = 2(-4y + 3z) = 0
Isso significa que as duas equações são equivalentes, e na verdade, temos apenas uma equação independente:
-4y + 3z = 0
Passo 6
Como temos apenas uma equação com duas variáveis ( -4y + 3z = 0 Rightarrow y = 34z e ), isso indica que o sistema tem infinitas soluções, dependendo de um parâmetro. Vamos resolver para uma das variáveis em função da outra. Vamos isolar :
Passo 7
Agora que sabemos que x + y - z = 1 Rightarrow x + 34z - z = 1 , vamos substituir isso na segunda equação original para encontrar x - 14z = 1 Rightarrow x = 1 + 14z :
Simplificando:
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas da seguinte forma:
x = 1 + dfrac14z y = dfrac34z z = z (onde z é qualquer número real) éú