Então, o enunciado nos dá três vetores: , e e pergunta por que esses vetores não formam uma base no espaço tridimensional . Vamos usar álgebra linear para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Mas, como temos três vetores em um espaço de três dimensões, basta verificar se eles são linearmente independentes para confirmar se formam uma base.
Passo 3
Para verificar a independência linear, podemos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for igual a zero, eles são dependentes.
Vamos montar a matriz:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. A fórmula para o determinante de uma matriz é:
Aplicando aos nossos valores:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:
Passo 5
O determinante deu zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Em outras palavras, um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros, o que impede que eles formem uma base.
Resposta
Os vetores , e não formam uma base em porque são linearmente dependentes, já que o determinante da matriz formada por eles é zero.