Os vetores e não formam uma base em . Por quê?

Passo 1

Então, o enunciado nos dá três vetores: , e e pergunta por que esses vetores não formam uma base no espaço tridimensional . Vamos usar álgebra linear para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em , uma base é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Mas, como temos três vetores em um espaço de três dimensões, basta verificar se eles são linearmente independentes para confirmar se formam uma base.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Se for igual a zero, eles são dependentes.
Vamos montar a matriz:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. A fórmula para o determinante de uma matriz é:
Aplicando aos nossos valores:
Calculando passo a passo:
Somando tudo:

Passo 5

O determinante deu zero, o que significa que os vetores são linearmente dependentes. Em outras palavras, um dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros, o que impede que eles formem uma base.

Resposta

Os vetores , e não formam uma base em porque são linearmente dependentes, já que o determinante da matriz formada por eles é zero.

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