Mostre que o plano
, isto é,
em
é gerado por:
Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram
e um conjunto de dois vetores que geram
.
Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que o plano
, definido como
em
, é gerado por certos vetores. Para isso, vamos usar conceitos de geração de subespaços e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser gerado por vetores. Em Álgebra Linear, dizemos que um subespaço é gerado por um conjunto de vetores se qualquer vetor do subespaço pode ser obtido como uma combinação linear desses vetores. No caso do plano
, queremos encontrar vetores que, através de combinações lineares, consigam chegar em qualquer ponto desse plano.
Passo 3
Vamos considerar que
. Isso significa que qualquer vetor no plano
tem a forma
, onde
e
são números reais. Observamos que a primeira coordenada é sempre zero.
Passo 4
Agora, para gerar
, precisamos de vetores cujas combinações lineares cubram todas as possibilidades de
e
. Um conjunto mínimo de vetores que faz isso são dois vetores linearmente independentes. Por exemplo, podemos escolher
e
.
Passo 5
Vamos verificar se
e
realmente geram
. Tomemos qualquer vetor
em
. Podemos escrever esse vetor como:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser obtido como uma combinação linear de
e
, confirmando que
e
geram
.
Passo 6
Agora, sobre a pergunta de por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores: um plano é um subespaço bidimensional, então ele pode ser gerado por dois vetores linearmente independentes. Três vetores também podem gerar o plano, mas nesse caso, pelo menos um dos vetores será uma combinação linear dos outros dois, tornando o conjunto dependente.
Passo 7
A questão também pergunta se o plano pode ser gerado por um único vetor. A resposta é não, porque um único vetor gera uma reta (subespaço unidimensional), que não é suficiente para cobrir todo o plano.
Passo 8
Para exibir um conjunto de quatro vetores que geram
, podemos simplesmente repetir os vetores que já sabemos que geram o plano:
Esses vetores geram
porque cada um deles pode ser expresso como uma combinação linear de
e
.
Passo 9
Já para um conjunto de dois vetores que geram
, podemos usar os vetores
e
que mencionamos anteriormente:
Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o plano
através de combinações lineares.
Resposta
O plano
é gerado pelos vetores
e
. Um conjunto de quatro vetores que geram
é
e um conjunto de dois vetores que geram
é
.