Mostre que o plano y z, isto é, W=(0, b, c) ; b, c in R em R^3 é gerado por:
Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram W e um conjunto de dois vetores que geram W.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos mostrar que o plano , definido como em , é gerado por certos vetores. Para isso, vamos usar conceitos de geração de subespaços e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser gerado por vetores. Em Álgebra Linear, dizemos que um subespaço é gerado por um conjunto de vetores se qualquer vetor do subespaço pode ser obtido como uma combinação linear desses vetores. No caso do plano , queremos encontrar vetores que, através de combinações lineares, consigam chegar em qualquer ponto desse plano.

Passo 3

Vamos considerar que . Isso significa que qualquer vetor no plano tem a forma , onde e são números reais. Observamos que a primeira coordenada é sempre zero.

Passo 4

Agora, para gerar , precisamos de vetores cujas combinações lineares cubram todas as possibilidades de e . Um conjunto mínimo de vetores que faz isso são dois vetores linearmente independentes. Por exemplo, podemos escolher e .

Passo 5

Vamos verificar se (0, b, c) = b cdot (0,1,0) + c cdot (0,0,1) = bv1 + cv2 e realmente geram . Tomemos qualquer vetor em . Podemos escrever esse vetor como:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear de e , confirmando que e geram .

Passo 6

Agora, sobre a pergunta de por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores: um plano é um subespaço bidimensional, então ele pode ser gerado por dois vetores linearmente independentes. Três vetores também podem gerar o plano, mas nesse caso, pelo menos um dos vetores será uma combinação linear dos outros dois, tornando o conjunto dependente.

Passo 7

A questão também pergunta se o plano pode ser gerado por um único vetor. A resposta é não, porque um único vetor gera uma reta (subespaço unidimensional), que não é suficiente para cobrir todo o plano.

Passo 8

Para exibir um conjunto de quatro vetores que geram , (0,1,0), (0,0,1), (0,2,3), (0,-1,4) , , podemos simplesmente repetir os vetores que já sabemos que geram o plano:
Esses vetores geram porque cada um deles pode ser expresso como uma combinação linear de e .

Passo 9

Já para um conjunto de dois vetores que geram , (0,1,0), (0,0,1) , , podemos usar os vetores e que mencionamos anteriormente:
Esses dois vetores são suficientes para gerar todo o plano através de combinações lineares.

Resposta

O plano é gerado pelos vetores e . Um conjunto de quatro vetores que geram é e um conjunto de dois vetores que geram é .

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