Classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
l5 x-2 y+3 z=2 2 x+3 z=-1 3 x-2 y+z=2 6 x-4 y+z=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é classificar esse sistema (se ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução) e resolver para encontrar os valores de , e . Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear como substituição e eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema pra facilitar a visualização:
5x - 2y + 3z = 2 (1) 2x + 0y + 3z = -1 (2) 3x - 2y + z = 2 (3) 6x - 4y + z = 5 (4)
Note que na segunda equação não tem termo de , então colocamos pra manter a consistência.

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável para simplificar o sistema. Olhando para as equações (1) e (3), ambas têm o (5x - 2y + 3z) - (3x - 2y + z) = 2 - 2 com coeficientes 2x + 2z = 0 (5) , então podemos subtrair uma da outra para eliminar .
Subtraindo a equação (3) da equação (1):
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos eliminar 2 times (3x - 2y + z) = 2 times 2 usando as equações (3) e (4). Multiplicamos a equação (3) por 2 para alinhar os coeficientes de 6x - 4y + 2z = 4 (6) :
(6x - 4y + z) - (6x - 4y + 2z) = 5 - 4
- z = 1 Rightarrow z = -1
Subtraindo a equação (6) da equação (4):
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos 2x + 2(-1) = 0 , vamos substituir esse valor na equação (5) para encontrar 2x - 2 = 0 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1 :

Passo 6

Com 2(1) + 3(-1) = -1 e 2 - 3 = -1 Rightarrow -1 = -1 , vamos substituir esses valores em uma das equações originais para encontrar 5(1) - 2y + 3(-1) = 2 . Vamos usar a equação (2):
5 - 2y - 3 = 2 Rightarrow 2 - 2y = 2 Rightarrow -2y = 0 Rightarrow y = 0
Isso confirma que nossas soluções estão corretas até agora. Agora, usamos a equação (1) para encontrar :

Resposta

O sistema tem uma solução única:
x = 1, y = 0, z = -1

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l 2 x-y+3 z-w=3 -2 x+y-2 w=-1 2 y-3 z-3 w=4 2 y-6 w=6
Considere agora que a esfera da questão 4 seja condutora, e não isolante.
a. Dos resultados do item 4.b, algum muda? Se sim, qual(quais) e por que?