Classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é classificar esse sistema (se ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução) e resolver para encontrar os valores de , e . Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear como substituição e eliminação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema pra facilitar a visualização:
Note que na segunda equação não tem termo de , então colocamos pra manter a consistência.
Passo 3
Vamos começar eliminando uma variável para simplificar o sistema. Olhando para as equações (1) e (3), ambas têm o (5x - 2y + 3z) - (3x - 2y + z) = 2 - 2 com coeficientes 2x + 2z = 0 (5) , então podemos subtrair uma da outra para eliminar .
Subtraindo a equação (3) da equação (1):
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos eliminar 2 times (3x - 2y + z) = 2 times 2 usando as equações (3) e (4). Multiplicamos a equação (3) por 2 para alinhar os coeficientes de 6x - 4y + 2z = 4 (6) :
(6x - 4y + z) - (6x - 4y + 2z) = 5 - 4
- z = 1 Rightarrow z = -1
Subtraindo a equação (6) da equação (4):
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos 2x + 2(-1) = 0 , vamos substituir esse valor na equação (5) para encontrar 2x - 2 = 0 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1 :
Passo 6
Com 2(1) + 3(-1) = -1 e 2 - 3 = -1 Rightarrow -1 = -1 , vamos substituir esses valores em uma das equações originais para encontrar 5(1) - 2y + 3(-1) = 2 . Vamos usar a equação (2):