Classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis:
,
e
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o sistema:
Perceba que a Equação 2 não tem a variável
, e a Equação 3 também não tem a variável
. Isso pode facilitar nossa resolução.
Passo 3
Vamos resolver a Equação 2 para
2x + 3z = -1 . A ideia é isolar
2x = -1 - 3z :
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Passo 4
Agora que temos
3x - 2y = 3 em termos de
3(-1 - 3z2) - 2y = 3 , vamos substituí-lo na Equação 3 para encontrar
-3 - 9z2 - 2y = 3 . A Equação 3 é:
Substituindo
-9z - 4y = 9 pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Adicionando 3 a ambos os lados:
Vamos isolar
:
Dividindo por -4:
Passo 5
Agora temos
5x - 2y + 3z = 2 e
5(-1 - 3z2) - 2(-94 - 9z4) + 3z = 2 em termos de
-5 - 15z2 + 18 + 18z4 + 3z = 2 . Vamos usar essas expressões na Equação 1 para encontrar o valor de
-10 - 30z4 + 18 + 18z4 + 12z4 = 2 . A Equação 1 é:
Substituindo
84 = 2 e
2 = 2 :
Simplificando cada termo:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum, que é 4:
Somando os numeradores:
Simplificando:
Isso significa que nossa equação está correta e que há infinitas soluções para
. Podemos escolher um valor para
e encontrar
e
correspondentes.
Passo 6
Para simplificar, vamos escolher
x = -1 - 3(0)2 = -12 .
Então:
Resposta
Uma das soluções do sistema é:
E existem infinitas soluções dependendo do valor escolhido para
.
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