Classifique as seguintes cônicas: 9 x^2-16 y^2+90 x-128 y-31=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a equação da cônica:
9x^2 - 16 y^2 + 90 x - 128 y -31=0
Queremos classificar essa cônica, ou seja, identificar se é uma parábola, elipse, círculo ou hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de equações de segundo grau e completar o quadrado para reescrever a equação em uma forma mais fácil de identificar.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 9x^2 + 90x - 16y^2 -128y = 31 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9(x^2 + 10x) -16(y^2 + 8y) = 31 e de separadamente. Primeiro, fatoramos os coeficientes das variáveis quadráticas:

Passo 4

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os valores necessários dentro dos parênteses.
Para x^2 + 10x = x^2 + 10x + 25 - 25 = (x + 5)^2 - 25 :
y^2 + 8y = y^2 + 8y + 16 - 16 = (y + 4)^2 - 16
Para :

Passo 5

Substituímos esses resultados de volta na equação original:
9[(x + 5)^2 - 25] -16[(y + 4)^2 - 16] = 31
Expandindo:
9(x + 5)^2 - 225 -16(y + 4)^2 + 256 = 31

Passo 6

Vamos agrupar os termos constantes:
9(x + 5)^2 -16(y + 4)^2 +31 = 31
Subtraímos 31 de ambos os lados:
9(x + 5)^2 -16(y + 4)^2 = 0

Passo 7

Dividimos toda a equação por 31 para isolar as expressões quadráticas:
9(x + 5)^231 - 16(y + 4)^231 = 1
Simplificando os denominadores:
(x + 5)^2319 - (y + 4)^23116 = 1

Passo 8

Comparando com a forma padrão das hipérboles:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Podemos identificar que nossa equação está nesta forma, indicando que a cônica é uma hipérbole.

Resposta

A equação dada representa uma hipérbole com centro em .

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