Classifique as seguintes cônicas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a equação da cônica:
Queremos classificar essa cônica, ou seja, identificar se é uma parábola, elipse, círculo ou hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de equações de segundo grau e completar o quadrado para reescrever a equação em uma forma mais fácil de identificar.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
separadamente. Primeiro, fatoramos os coeficientes das variáveis quadráticas:
Passo 4
Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os valores necessários dentro dos parênteses.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituímos esses resultados de volta na equação original:
Expandindo:
Passo 6
Vamos agrupar os termos constantes:
Subtraímos 31 de ambos os lados:
Passo 7
Dividimos toda a equação por 31 para isolar as expressões quadráticas:
Simplificando os denominadores:
Passo 8
Comparando com a forma padrão das hipérboles:
Podemos identificar que nossa equação está nesta forma, indicando que a cônica é uma hipérbole.
Resposta
A equação dada representa uma hipérbole com centro em
.