Considere z=x+i y. Encontre: Im[(1+i)^8 z^2]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo e queremos encontrar a parte imaginária da expressão . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de números complexos, como a multiplicação e potenciação de números complexos.

Passo 2

Vamos começar calculando . Para facilitar, podemos usar a forma polar dos números complexos. O número pode ser representado em forma polar como , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo r = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 de theta = arctan(11) = pi4 :
E o argumento :

Passo 4

Agora, elevamos (1 + i)^8 = (raiz2)^8 [cos(8 times pi4) + i sin(8 times pi4)] à oitava potência usando a forma polar:
(raiz2)^8 = 2^4 = 16
Simplificando:
8 times pi4 = 2pi
(1 + i)^8 = 16 [cos(2pi) + i sin(2pi)] = 16 (1 + i cdot 0) = 16
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular z^2 = (x + i y)^2 = x^2 + 2i x y + (i y)^2 = x^2 + 2i x y - y^2 = (x^2 - y^2) + i (2x y) onde :

Passo 6

Multiplicando (1 + i)^8 z^2 = 16 times [(x^2 - y^2) + i (2x y)] = 16(x^2 - y^2) + i cdot 16 cdot 2x y = 16(x^2 - y^2) + i cdot 32x y por :

Passo 7

Finalmente, queremos a parte imaginária dessa expressão:
Im[(1+i)^8 z^2] = 32x y

Resposta

A parte imaginária de é .

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