Considere z=x+i y. Encontre: Re(1 / barz^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número complexo e precisamos encontrar a parte real de . Aqui, estamos trabalhando com números complexos e operações envolvendo conjugados e potências. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular o conjugado de um número complexo e como manipular expressões complexas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o conjugado de . O conjugado de um número complexo é dado por .

Passo 3

Agora, precisamos calcular z^2 = (x - i y)^2 . Para isso, elevamos ao quadrado:

Passo 4

Vamos expandir a expressão (x - i y)^2 = x^2 - 2 i x y + (i y)^2 :
(x - i y)^2 = x^2 - 2 i x y - y^2
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, queremos encontrar 1z^2 = 1x^2 - y^2 - 2 i x y , ou seja:
1x^2 - y^2 - 2 i x y cdot x^2 - y^2 + 2 i x yx^2 - y^2 + 2 i x y = x^2 - y^2 + 2 i x y(x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2
Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

Passo 6

Agora, a parte real da expressão é o termo sem Re(1z^2) = x^2 - y^2(x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2 . Portanto, a parte real de é:

Passo 7

Vamos simplificar o denominador:
(x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2 = x^4 - 2 x^2 y^2 + y^4 + 4 x^2 y^2 = x^4 + 2 x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2

Resposta

Portanto, a parte real de Re(1z^2) = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 é:

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