Encontre o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a alpha: 3 x-2 y-6 z-12=0 é o dobro da distância a beta: 3 x-2 y-6 z+2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o lugar geométrico dos pontos cuja distância à plano α é o dobro da distância ao plano β. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto Distância = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 a um plano geral :
â

Passo 3

Agora, identifiquemos os coeficientes dos planos e :
  • Para o plano , temos , , , e .
  • Para o plano , temos , , , e .

Passo 4

A condição dada é que a distância de |3x - 2y - 6z - 12|raiz3^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 2 cdot |3x - 2y - 6z + 2|raiz3^2 + (-2)^2 + (-6)^2 ao é o dobro da distância ao :

Passo 5

Simplificamos as raízes nos denominadores, pois são iguais:
|3x - 2y - 6z - 12|7 = 2 cdot |3x - 2y - 6z + 2|7
Podemos multiplicar ambos os lados por 7 para eliminar os denominadores:
|3x - 2y - 6z - 12| = 2 |3x - 2y - 6z + 2|

Passo 6

Vamos considerar as possibilidades dos valores absolutos:
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 7

Caso 1:
3x - 2y - 6z - 12 = 6x - 4y - 12z + 4
Levantamos todos os termos para um lado:
-3x + 2y + 6z - 16 = 0
Simplificando:
3x - 2y - 6z + 16 = 0

Passo 8

Caso 2:
3x - 2y - 6z - 12 = -6x + 4y + 12z - 4
Levantamos todos os termos para um lado:
9x - 6y - 18z - 8 = 0
Podemos simplificar dividindo por 3:
3x - 2y - 6z - 83 = 0

Passo 9

Então, o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição dada é a união dos dois planos encontrados:
3x - 2y - 6z + 16 = 0 e 3x - 2y - 6z - 83 = 0

Resposta

O lugar geométrico dos pontos é a união dos planos e .

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