Encontre o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a
é o dobro da distância a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o lugar geométrico dos pontos cuja distância à plano α é o dobro da distância ao plano β. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto
a um plano geral
:
Passo 3
Agora, identifiquemos os coeficientes dos planos
e
:
- Para o plano
, temos , , , e . - Para o plano
, temos , , , e .
Passo 4
A condição dada é que a distância de
ao
é o dobro da distância ao
:
Passo 5
Simplificamos as raízes nos denominadores, pois são iguais:
Podemos multiplicar ambos os lados por 7 para eliminar os denominadores:
Passo 6
Vamos considerar as possibilidades dos valores absolutos:
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 7
Caso 1:
Levantamos todos os termos para um lado:
Simplificando:
Passo 8
Caso 2:
Levantamos todos os termos para um lado:
Podemos simplificar dividindo por 3:
Passo 9
Então, o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição dada é a união dos dois planos encontrados:
Resposta
O lugar geométrico dos pontos é a união dos planos
e
.