Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial parcial (EDP) e encontrar uma mudança de coordenadas que transforme essa equação na forma canônica. Depois, vamos usar essa forma para resolver a equação. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como classificar equações diferenciais parciais de segunda ordem e como fazer mudanças de coordenadas para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Para classificar uma EDP de segunda ordem da forma geral:
Usamos o discriminante
.
- Se
, a equação é hiperbólica. - Se
, é parabólica. - Se
, é elíptica.
Para a nossa equação:
-
-
então -
Calculando o discriminante:
Como
, a equação é hiperbólica.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é hiperbólica, vamos encontrar uma mudança de coordenadas que a transforme na forma canônica. Para isso, buscamos novas variáveis
e
que eliminem o termo de derivada cruzada
.
Assumimos uma transformação linear:
Nosso objetivo é escolher
,
,
, e
de forma que a equação em termos de
e
não tenha o termo
.
Passo 4
Para eliminar o termo
, precisamos que as novas coordenadas sejam escolhidas de forma que:
Substituindo os valores conhecidos (
,
,
):
Para simplificar, podemos escolher
. Assim, a equação fica:
Resolvendo para
:
Portanto,
ou
.
Passo 5
Vamos escolher
. Então, nossa mudança de coordenadas fica:
Para simplificar ainda mais, podemos escolher
e
, resultando em:
Passo 6
Com as novas variáveis
e
, vamos expressar as derivadas parciais da função
:
Calculando as segundas derivadas:
Passo 7
Substituindo essas expressões na equação original:
Ficando:
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, podemos dividir a equação por 4:
No entanto, percebemos que ainda temos um termo misto
. Parece que precisávamos de uma escolha melhor para eliminar esse termo. Vamos reconsiderar a mudança de coordenadas.
Passo 9
Vamos optar por outra abordagem. Considerando que a equação é hiperbólica, podemos escolher
e
. Com isso, as derivadas ficam:
Essa é a forma canônica da equação hiperbólica
.
Passo 10
Agora, a equação canônica é:
Essa é uma equação de onda simples, cuja solução geral é:
Onde
e
são funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis.
Resposta
Uma solução geral para a equação é:
Onde
e
são funções arbitrárias de uma variável.