Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação. u_xx + 6 u_xy + 5 u_yy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial parcial (EDP) e encontrar uma mudança de coordenadas que transforme essa equação na forma canônica. Depois, vamos usar essa forma para resolver a equação. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como classificar equações diferenciais parciais de segunda ordem e como fazer mudanças de coordenadas para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. Para classificar uma EDP de segunda ordem da forma geral:
Usamos o discriminante .
  • Se , a equação é hiperbólica.
  • Se , é parabólica.
  • Se , é elíptica.
Para a nossa equação:
  • então
Calculando o discriminante:
Como , a equação é hiperbólica.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é hiperbólica, vamos encontrar uma mudança de coordenadas que a transforme na forma canônica. Para isso, buscamos novas variáveis xi e eta que eliminem o termo de derivada cruzada .
Assumimos uma transformação linear:
Nosso objetivo é escolher alpha, beta, gamma, e delta de forma que a equação em termos de xi e eta não tenha o termo .

Passo 4

Para eliminar o termo , precisamos que as novas coordenadas sejam escolhidas de forma que:
Substituindo os valores conhecidos ( A=1, , ):
Para simplificar, podemos escolher . Assim, a equação fica:
Resolvendo para gamma:
Portanto, ou .

Passo 5

Vamos escolher . Então, nossa mudança de coordenadas fica:
Para simplificar ainda mais, podemos escolher e , resultando em:

Passo 6

Com as novas variáveis xi e eta, vamos expressar as derivadas parciais da função u:
Calculando as segundas derivadas:

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação original:
Ficando:
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:

Passo 8

Para simplificar ainda mais, podemos dividir a equação por 4:
No entanto, percebemos que ainda temos um termo misto . Parece que precisávamos de uma escolha melhor para eliminar esse termo. Vamos reconsiderar a mudança de coordenadas.

Passo 9

Vamos optar por outra abordagem. Considerando que a equação é hiperbólica, podemos escolher e . Com isso, as derivadas ficam:
Essa é a forma canônica da equação hiperbólica .

Passo 10

Agora, a equação canônica é:
Essa é uma equação de onda simples, cuja solução geral é:
Onde f e g são funções arbitrárias duas vezes diferenciáveis.

Resposta

Uma solução geral para a equação é:
Onde f e g são funções arbitrárias de uma variável.

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