Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar a equação diferencial parcial dada, encontrar uma mudança de coordenadas que a transforme na forma canônica e, depois, usar essa forma para achar uma solução. Vamos precisar conhecer um pouco sobre classificação de equações diferenciais parciais de segunda ordem e como transformar coordenadas para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral de segunda ordem, que é do tipo:
Comparando com a equação dada:
vemos que:
-
-
(porque ) -
Passo 3
Agora, vamos classificar a equação usando o discriminante, que é calculado por:
Substituindo os valores:
Como o discriminante é negativo (
), isso significa que a equação é elíptica.
Passo 4
Para simplificar a equação, vamos encontrar uma mudança de coordenadas que elimine o termo cruzado
. Isso é feito rotacionando os eixos. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Substituindo:
Calculando
:
Isso nos dá o ângulo necessário para a rotação que simplifica a equação.
Passo 5
Após encontrar
, aplicamos a rotação das coordenadas:
Com essa mudança, a equação se transforma na forma canônica, sem o termo
:
Para nossa equação, após a substituição e simplificação, teremos uma equação mais fácil de resolver.
Passo 6
Na forma canônica, nossa equação é uma equação de Laplace, que é bem conhecida e tem soluções harmônicas. Podemos usar métodos como separação de variáveis para encontrar
.
Resposta
A equação
é de tipo elíptico. A mudança de coordenadas que a leva à forma canônica é uma rotação dos eixos em um ângulo
onde
. Utilizando essa transformação, a equação simplificada permite encontrar soluções harmônicas por métodos padrão de equações de Laplace.