Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação. u_xx + 6 u_xy + 9 u_yy = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial parcial de segunda ordem: . O que precisamos fazer é:
  1. Classificar a equação – Ou seja, descobrir que tipo de equação é essa (elíptica, parabólica ou hiperbólica).
  2. Encontrar uma mudança de coordenadas que transforme essa equação na forma canônica, que é uma forma mais simples de resolver.
  3. Usar a forma canônica para encontrar uma solução para a equação.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como classificar equações diferenciais parciais e como realizar mudanças de coordenadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. Para isso, a gente olha para os coeficientes dos termos de segunda ordem e calcula o discriminante, que ajuda a gente a saber o tipo da equação.
A equação geral de segunda ordem em duas variáveis é:
No nosso caso, temos:
  • então
O discriminante é calculado por:
Vamos calcular:
Quando o discriminante é zero ( ), a equação é parabólica.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é parabólica, vamos encontrar uma mudança de coordenadas que a leve para a forma canônica. A ideia é simplificar a equação para facilitar a resolução.
Para isso, vamos procurar novas coordenadas e que sejam combinações lineares de e . Geralmente, fazemos isso resolvendo as equações características associadas à parte de segunda ordem da equação.
As equações características são dadas por:
Substituindo os valores:
Essa equação pode ser fatorada:
Integrando, temos:
Então, uma possível escolha para as novas coordenadas é:

Passo 4

Com essa mudança de coordenadas, vamos reescrever as derivadas parciais de em termos de e .
Usando a regra da cadeia:
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Substituindo na equação original:

Passo 5

Agora que a equação foi simplificada para a forma canônica:
Essa é uma equação diferencial parcial mais simples. Vamos resolver essa equação.
Integrando em relação a :
Integrando novamente:
Onde e são funções arbitrárias de .
Lembrando que e , substituímos de volta:
Essa é a solução geral da equação original.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são funções arbitrárias de .

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