Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. A gente tem uma equação diferencial parcial de segunda ordem:
. O que precisamos fazer é:
- Classificar a equação – Ou seja, descobrir que tipo de equação é essa (elíptica, parabólica ou hiperbólica).
- Encontrar uma mudança de coordenadas que transforme essa equação na forma canônica, que é uma forma mais simples de resolver.
- Usar a forma canônica para encontrar uma solução para a equação.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como classificar equações diferenciais parciais e como realizar mudanças de coordenadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Para isso, a gente olha para os coeficientes dos termos de segunda ordem e calcula o discriminante, que ajuda a gente a saber o tipo da equação.
A equação geral de segunda ordem em duas variáveis é:
No nosso caso, temos:
-
-
então -
O discriminante é calculado por:
Vamos calcular:
Quando o discriminante é zero (
), a equação é parabólica.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é parabólica, vamos encontrar uma mudança de coordenadas que a leve para a forma canônica. A ideia é simplificar a equação para facilitar a resolução.
Para isso, vamos procurar novas coordenadas
e
que sejam combinações lineares de
e
. Geralmente, fazemos isso resolvendo as equações características associadas à parte de segunda ordem da equação.
As equações características são dadas por:
Substituindo os valores:
Essa equação pode ser fatorada:
Integrando, temos:
Então, uma possível escolha para as novas coordenadas é:
Passo 4
Com essa mudança de coordenadas, vamos reescrever as derivadas parciais de
em termos de
e
.
Usando a regra da cadeia:
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Substituindo na equação original:
Passo 5
Agora que a equação foi simplificada para a forma canônica:
Essa é uma equação diferencial parcial mais simples. Vamos resolver essa equação.
Integrando em relação a
:
Integrando novamente:
Onde
e
são funções arbitrárias de
.
Lembrando que
e
, substituímos de volta:
Essa é a solução geral da equação original.
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
e
são funções arbitrárias de
.