Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a equação diferencial parcial
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais parciais (EDPs) lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar identificar a classificação da equação (elíptica, parabólica ou hiperbólica), encontrar uma mudança de coordenadas que a torne canônica e, por fim, usar essa forma canônica para achar uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Para isso, observamos os coeficientes das derivadas:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
A classificação de uma EDP de segunda ordem depende do discriminante
.
Passo 3
Calculando o discriminante:
Como
, a equação é hiperbólica.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a mudança de coordenadas que leva a equação para a forma canônica. Para equações hiperbólicas, usamos coordenadas características. As novas coordenadas
e
são obtidas resolvendo a equação característica:
Substituindo os valores:
Resolvendo a equação quadrática em
:
Então, temos duas soluções:
Logo, podemos definir as novas coordenadas como:
Passo 5
Com a mudança de coordenadas
e
, expressamos as derivadas parciais em termos de
e
:
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 6
A equação canônica agora é:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Esta é uma equação diferencial parcial linear com coeficientes constantes, que pode ser resolvida usando métodos de equação diferencial linear.
Passo 7
Para resolver, assumimos uma solução particular da forma
:
Sendo a equação homogênea associada
, buscamos uma solução particular que satisfaça a equação completa. Supondo que
dependa apenas de
:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é
.
Resposta
A solução da equação
é
.