Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação. u_xx + 6 u_xy + 5 u_yy = e^(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a equação diferencial parcial . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais parciais (EDPs) lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar identificar a classificação da equação (elíptica, parabólica ou hiperbólica), encontrar uma mudança de coordenadas que a torne canônica e, por fim, usar essa forma canônica para achar uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. Para isso, observamos os coeficientes das derivadas:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
A classificação de uma EDP de segunda ordem depende do discriminante .

Passo 3

Calculando o discriminante:
Como , a equação é hiperbólica.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a mudança de coordenadas que leva a equação para a forma canônica. Para equações hiperbólicas, usamos coordenadas características. As novas coordenadas e são obtidas resolvendo a equação característica:
Substituindo os valores:
Resolvendo a equação quadrática em :
Então, temos duas soluções:
Logo, podemos definir as novas coordenadas como:

Passo 5

Com a mudança de coordenadas e , expressamos as derivadas parciais em termos de e :
Derivando novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 6

A equação canônica agora é:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Esta é uma equação diferencial parcial linear com coeficientes constantes, que pode ser resolvida usando métodos de equação diferencial linear.

Passo 7

Para resolver, assumimos uma solução particular da forma :
Sendo a equação homogênea associada , buscamos uma solução particular que satisfaça a equação completa. Supondo que dependa apenas de :
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é .

Resposta

A solução da equação é .

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