Sejam uma constante diferente de zero e , uma função contínua com derivada contínua por partes em . Use separação de variáveis para resolver o problema de valores iniciais e de fronteira
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial conhecida como equação do calor:
ut = K uxx
Aqui, é uma constante diferente de zero, e estamos trabalhando no intervalo com condições de fronteira para todo . Além disso, temos uma condição inicial .
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a separação de variáveis, uma técnica poderosa para resolver esse tipo de equação. Vamos precisar também entender um pouco sobre séries de Fourier para lidar com a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis. Isso significa que assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende apenas de :
Passo 3
Agora, substituímos ut = K uxx Rightarrow X(x) T'(t) = K X''(x) T(t) na equação do calor:
T'(t)K T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Dividimos ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias separadas:
Para T'(t) + K lambda T(t) = 0 :
T(t) = C e^-K lambda t
A solução geral é:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Para Xn(x) = sin(npi xL) :
Com as condições de fronteira . As soluções não-triviais ocorrem quando para , e as funções próprias são:
Passo 5
Combinando as soluções de un(x, t) = Cn sin(npi xL) e^-K (npiL)^2 t e , obtemos as soluções particulares para cada valor de :
Passo 6
A solução geral da equação do calor será uma combinação linear de todas essas soluções particulares:
u(x, t) = sumn=1^infty Cn sin(npi xL) e^-K (npiL)^2 t