Sejam K uma constante diferente de zero e f:[0, L] R, L>0, uma função contínua com derivada contínua por partes em [0, L]. Use separação de variáveis para resolver o problema de valores iniciais e de fronteira
l ut=K ux x em R=(x, t) in R^2 mid x in(0, L) e t>0 u(0, t)=u(L, t)=0 para todo t>0 u(x, 0)=f(x) para todo x in[0, L]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial conhecida como equação do calor:
ut = K uxx
Aqui, é uma constante diferente de zero, e estamos trabalhando no intervalo com condições de fronteira para todo . Além disso, temos uma condição inicial .
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a separação de variáveis, uma técnica poderosa para resolver esse tipo de equação. Vamos precisar também entender um pouco sobre séries de Fourier para lidar com a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis. Isso significa que assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x) T(t) e outra que depende apenas de :

Passo 3

Agora, substituímos ut = K uxx Rightarrow X(x) T'(t) = K X''(x) T(t) na equação do calor:
T'(t)K T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Dividimos ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias separadas:
  1. Para T'(t) + K lambda T(t) = 0 :
    T(t) = C e^-K lambda t
    A solução geral é:
    X''(x) + lambda X(x) = 0
  2. Para Xn(x) = sin(npi xL) :
    Com as condições de fronteira . As soluções não-triviais ocorrem quando para , e as funções próprias são:

Passo 5

Combinando as soluções de un(x, t) = Cn sin(npi xL) e^-K (npiL)^2 t e , obtemos as soluções particulares para cada valor de :

Passo 6

A solução geral da equação do calor será uma combinação linear de todas essas soluções particulares:
u(x, t) = sumn=1^infty Cn sin(npi xL) e^-K (npiL)^2 t

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial f(x) = sumn=1^infty Cn sin(npi xL) :
Cn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx
Isso é uma série de Fourier seno para a função . Os coeficientes são dados por:

Resposta

A solução do problema de valores iniciais e de fronteira é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty ( 2L integral0^L f(xi) sin(npi xiL) dxi ) sin(npi xL) e^-K (npiL)^2 t

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