Classifique as seguintes equações e encontre, de cada uma, a mudança de coordenadas que a leva na forma canônica. Use a forma canônica para encontrar uma solução para a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para classificar a equação diferencial parcial
, identificar uma mudança de coordenadas que a coloque na forma canônica e, por fim, resolver essa forma canônica. Para isso, vamos precisar entender como classificar equações diferenciais parciais e como aplicar mudanças de coordenadas apropriadas usando conceitos de álgebra linear, como matrizes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Para isso, usamos o discriminante da equação quadrática associada aos coeficientes das derivadas de segunda ordem. A forma geral de uma equação elíptica, parabólica ou hiperbólica é dada por:
O discriminante
é calculado por:
No nosso caso, os coeficientes são
,
(porque 2B = 6), e
. Então:
Como
, a equação é elíptica.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é elíptica, precisamos encontrar uma mudança de coordenadas que a leve à forma canônica. Para isso, buscamos rotacionar o sistema de coordenadas para eliminar o termo misto
.
A rotação de coordenadas é dada por:
Escolhemos
de forma que o termo
desapareça na nova equação. A condição para isso é:
Substituindo nossos valores:
Calculando
:
Então, a mudança de coordenadas é uma rotação de aproximadamente
.
Passo 4
Aplicando essa rotação, a equação original se transforma na forma canônica, que para equações elípticas sem termo independente fica assim:
Onde
e
são os autovalores da matriz associada à equação original:
Calculando os autovalores:
Substituindo:
Passo 5
Com a forma canônica
, podemos simplificar para facilitar a resolução. Dividindo ambos os lados por 5:
Esta é a forma canônica da equação elíptica dada. Para encontrar uma solução, podemos assumir uma solução em termos de
e
que satisfaça a equação, por exemplo, uma função constante ou linear, dependendo das condições de contorno.
Resposta
A equação
é classificada como elíptica. Aplicando uma rotação de coordenadas de aproximadamente
, ela é transformada em sua forma canônica:
Essa forma pode então ser utilizada para encontrar soluções específicas da equação.